Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x c = ∫ ∫ B x   d m ∫ ∫ B d m

y c = ∫ ∫ B y   d m ∫ ∫ B d m

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = δ x ,   y   d x d y

Neste caso, B é dado no enunciado como um quadrado, tal que:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

∫ ∫ B x   d m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y   d x d y

= ∫ 0 1 y x 2 2 | 1 0 d y = ∫ 0 1 y 2 d y

= y 2 4 | 1 0 = 1 4

E

∫ ∫ B d m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 y   d x d y

= ∫ 0 1 y x | 1 0 d y = ∫ 0 1 y d y

= y 2 2 | 1 0 = 1 2

Passo 3

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

∫ ∫ B y   d m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 y 2   d x d y

= ∫ 0 1 y 2 x | 1 0 d y = ∫ 0 1 y 2 d y

= y 3 3 | 1 0 = 1 3

E

∫ ∫ B d m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 y   d x d y

= ∫ 0 1 y x | 1 0 d y = ∫ 0 1 y d y

= y 2 2 | 1 0 = 1 2

Passo 4

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x c = 1 / 4 1 / 2 = 1 2

E

y c = 1 / 3 1 / 2 = 2 3

Logo:

1 2 , 2 3

Resposta

1 2 , 2 3

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