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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1a

Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x_c = (int int_B x d m)/(int int_B d m)

y_c = (int int_B y d m)/(int int_B d m)

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = delta (x , y) d x d y

Neste caso, B é dado no enunciado como um quadrado, tal que:

0 <= x <= 1

0 <= y <= 1

Passo 2

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

int int_B x d m = int_0^1 [int_0^1 x y d x] d y

= int_0^1 y [(x^2)/(2)] | [[1],[0]] d y = int_0^1 (y)/(2) d y

= [(y^2)/(4)] | [[1],[0]] = (1)/(4)

E

int int_B d m = int_0^1 [int_0^1 y d x] d y

= int_0^1 y [x] | [[1],[0]] d y = int_0^1 y d y

= [(y^2)/(2)] | [[1],[0]] = (1)/(2)

Passo 3

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

int int_B y d m = int_0^1 [int_0^1 y^2 d x] d y

= int_0^1 y^2 [x] | [[1],[0]] d y = int_0^1 y^2 d y

= [(y^3)/(3)] | [[1],[0]] = (1)/(3)

E

int int_B d m = int_0^1 [int_0^1 y d x] d y

= int_0^1 y [x] | [[1],[0]] d y = int_0^1 y d y

= [(y^2)/(2)] | [[1],[0]] = (1)/(2)

Passo 4

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x_c = (1 // 4)/(1 // 2) = (1)/(2)

E

y_c = (1 // 3)/(1 // 2) = (2)/(3)

Logo:

((1)/(2) , (2)/(3))

Resposta

((1)/(2) , (2)/(3))

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