Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1f

Calcule

f) int int int_B (x^2 + z^2) * d x * d y * d z onde B é o cilindro x^2 + y^2 <= 1 , 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B (x^2 + z^2) * d x * d y * d z = int int_K [x^2 * int_0^1 d z + int_0^1 z^2 * d z] * d x * d y

Onde K será o círculo dado por x^2 + y^2 <= 1 . Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = rho * cos theta

y = rho * sin theta

Como é um circulo, temos que theta irá variar de 0 <= theta <= 2 * pi . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 <= rho <= 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x * d y = rho * d rho * d theta . Finalmente podemos resolver a integral, que será

int int_K (x^2 + (1)/(3)) * d x * d y = int int_K (rho^2 * cos^2 theta + (1)/(3)) * rho * d rho * d theta =

= int_0^(2 * pi) cos^2 theta * d theta * int_0^1 rho^3 * d rho + (1)/(3) * int_0^(2 * pi) d theta * int_0^1 rho * d rho =

= pi * (1)/(4) + (1)/(3) * (2 * pi * (1)/(2)) = (pi)/(4) + (pi)/(3) = (7 * pi)/(12) = (7)/(12) * pi

Resposta

int int int_B (x^2 + z^2) * d x * d y * d z = (7 * pi)/(12)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calculem) ∫ ∫ ∫ B e x 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculee) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 ⋅ x .
Calculeg) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 ⋅ x + 2 ⋅ y - 1
Calculel) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 - y 2 ≤ z ≤ 1 - 2 ⋅ y 2 .
Calculen) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ x + y .