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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1b

Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x_c = (int int_B x d m)/(int int_B d m)

y_c = (int int_B y d m)/(int int_B d m)

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = delta (x , y) d x d y

Neste caso, B é dado no enunciado como uma elipse onde o eixo menor está em y , tal que:

- 1 <= x <= 1

E

x^2 + 4 y^2 = 1 -> y = +- sqrt((1 - x^2)/(4)) = (sqrt(1 - x^2))/(2)

Assim:

0 <= y <= (sqrt(1 - x^2))/(2)

Além de que, como a distância do ponto ao eixo x é dada por um valor em y , então a densidade apresenta uma constante de proporcionalidade para esse valor:

delta (x , y) = k y

Passo 2

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

int int_B x d m = int_(- 1)^1 [int_0^((sqrt(1 - x^2))/(2)) x (k y) d y] d x = k int_(- 1)^1 [int_0^((sqrt(1 - x^2))/(2)) x y d y] d x

= k int_(- 1)^1 x [(y^2)/(2)] | [[(sqrt(1 - x^2))/(2)],[0]] d x = k int_(- 1)^1 x [(1 - x^2)/(8)] d x

= (k)/(8) int_(- 1)^1 [x - x^3] d x = (k)/(8) [(x^2)/(2) - (x^4)/(4)] | [[1],[-,1]] = 0

Este resultado já faz com que x_c seja nulo.

Passo 3

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

int int_B y d m = int_(- 1)^1 [int_0^((sqrt(1 - x^2))/(2)) y (k y) d y] d x = k int_(- 1)^1 [int_0^((sqrt(1 - x^2))/(2)) y^2 d y] d x

= k int_(- 1)^1 [(y^3)/(3)] | [[(sqrt(1 - x^2))/(2)],[0]] d x = (k)/(3) int_(- 1)^1 [(1 - x^2 sqrt(1 - x^2))/(8)] d x

= (k)/(24) int_(- 1)^1 [(1 - x^2)^(3 // 2)] d x

Aplicando a substituição x = s e n u , tal que d x = c o s u d u :

Quando x = 1 -> u = (pi)/(2)

Quando x = - 1 -> u = - (pi)/(2)

Então:

= (k)/(24) int_(- pi // 2)^(pi // 2) [(1 - s e n^2 u)^(3 // 2)] c o s u d u = (k)/(24) int_(- pi // 2)^(pi // 2) [c o s^3 u] c o s u d u

= (k)/(24) int_(- pi // 2)^(pi // 2) [c o s^4 u] d u

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s^2 (n x) = (1 + cos (2 n x))/(2)

Pode-se reescrever a integral como:

= (k)/(24) int_(- pi // 2)^(pi // 2) [((1 + cos (2 u))/(2))^2] d u = (k)/(96) int_(- pi // 2)^(pi // 2) [1 + 2 cos (2 u) + c o s^2 (2 u)] d u

= (k)/(96) int_(- pi // 2)^(pi // 2) [1 + 2 cos (2 u) + (1 + cos (4 u))/(2)] d u = (k)/(96) int_(- pi // 2)^(pi // 2) [(3)/(2) + 2 cos (2 u) + (cos (4 u))/(2)] d u

Resultando em:

= (k)/(96) [(3)/(2) u + s e n (2 u) + (s e n (4 u))/(8)] | [[(pi)/(2)],[-,(pi)/(2)]]

= (k)/(64) pi

E

int int_B d m = int_(- 1)^1 [int_0^((sqrt(1 - x^2))/(2)) (k y) d y] d x = k int_(- 1)^1 [int_0^((sqrt(1 - x^2))/(2)) y d y] d x

= k int_(- 1)^1 [(y^2)/(2)] | [[(sqrt(1 - x^2))/(2)],[0]] d x = (k)/(2) int_(- 1)^1 [(1 - x^2)/(4)] d x

= (k)/(8) [x - (x^3)/(3)] | [[1],[-,1]] = (k)/(8) [1 - (1)/(3) - (- 1 + (1)/(3))]

= (k)/(8) [2 - (2)/(3)] = (k)/(6)

Passo 4

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x_c = (0)/(k // 6) = 0

E

y_c = (k pi // 64)/(k // 6) = (3)/(32) pi

Logo:

(0 , (3)/(32) pi)

Resposta

(0 , (3)/(32) pi)

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