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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 28

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = e t cos ⁡ t y = e t s e n   t   ,   1 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 1     e     t 1 = 2 .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = e t c o s t - s e n   t .   e t = e t ( cos ⁡ t - s e n   t )

y ' = e t s e n   t + cos ⁡ t   .   e t = e t ( s e n   t + cos ⁡ t )

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 1 2 e t ( cos ⁡ t - s e n   t ) 2 + e t ( s e n   t + cos ⁡ t ) 2 d t =

= ∫ 1 2 e 2 t ( cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t   s e n   t + s e n 2 t ) + e 2 t ( s e n 2 t + 2 s e n   t cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t )   d t =

= ∫ 1 2 2 e 2 t = ∫ 1 2 2 e t d t = 2 e t   | 2 1  

Passo 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = 2   e 2 - e     u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 2   e 2 - e     u . c .

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Ache o centroide da região no primeiro quadrante, limitadas pelos eixos coordenados e pela parábola y = 9 - x ² ²
Ache o comprimento do arco da curva 9 y 2 = 4 x 3 da origem ao ponto 3 ,2 3 .
Ache o comprimento do arco da curva 8 y = x 4 + 2 x - 2 do ponto onde x = 1 até o onde x = 2 .
Use o Teorema 6.3.3 para encontrar o comprimento do arco da curva y 3 = 8 x 2 do ponto ( 1 ,2 ) ao ponto ( 27 ,18 ) .
Calcule o comprimento do segmento de reta x + 3 y = 4 do ponto ( - 2 ,2 ) ao ponto ( 4 ,0 ) por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.