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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 10

Seja f (x) = x^2 sen x + cos x . Calcule:

  1. f^' (x)
  2. f^' (0)
  3. f^' (3 a)
  4. f^' (x^2)

Passo 1

  1. Oi, pessoal! Nessa questão temos que achar a derivada de f (x) e depois achar a derivada em determinados pontos.

    2. Vamos começar calculando f^' (x) usando a derivada da soma! Fica assim,

    f^' ( x ) = (x^2 sen x + cos x) ' = (x^2 sen x) ' + ( cos x ) '

    Lembrando que,

    (x^n)^' = n x^(n - 1)

    (sen (x))^' = cos (x)

    (cos (x))^' = - sen (x)

    Passo 2

    Para a primeira derivada vamos usar a regra do produto:

    (h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

    Temos que:

    h (x) = x^2

    e

    g (x) = sen x

    Assim:

    ( x^2 sen x ) ' = (x^2)^' (sen x) + (sen x)^' (x^2)

    Logo,

    ( x^2 sen x ) ' = 2 x (sen x) + cos x (x^2)

    Passo 3

    Agora vamos usar a da função trigonométrica para calcular a segunda derivada:

    (cos x) ' = - sen (x)

    Passo 4

    Juntando:

    f^' (x) = (x^2 sen x)^' + (cos x)^' = - sen (x) + 2 x sen x + x^2 cos x

    Passo 5

  2. Para calcular f^' (0) é só aplicar o valor 0 na derivada que achamos no passo 4 :

    3. f^' (0) = - sen (0) + 2 * 0 * sen 0 + 0^2 * cos 0

    f^' (0) = - 0 + 0 + 0 * 1 = 0

    Passo 6

  3. Para calcular f^' (3 a) é só aplicar o valor 3 a na derivada que achamos no passo 4 :

    4. f^' (3 a) = - sen (3 a) + 2 * 3 a * sen 3 a + (3 a)^2 * cos 3 a

    f^' (3 a) = - sen (3 a) + 6 a sen (3 a) + 9 a^2 cos (3 a)

    Passo 7

  4. Para calcular f^' (x^2) é só aplicar o valor x^2 na derivada que achamos no passo 4 :

f^' (x^2) = - sen (x^2) + 2 * x^2 * sen (x^2) + (x^2)^2 * cos (x^2)

f^' (x^2) = - sen (x^2) + 2 x^2 sen (x^2) + x^4 cos (x^2)

Resposta

  1. f^' (x) = - sen (x) + 2 x sen x + x^2 cos x
  2. f^' (0) = 0
  3. f^' (3 a) = - sen (3 a) + 6 a sen (3 a) + 9 a^2 cos (3 a)
  4. f^' (x^2) = - sen (x^2) + 2 x^2 sen (x^2) + x^4 cos (x^2)
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