Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 29e

Dizemos que ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico do estacionário de z = f ( x , y ) se ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0 . Determine (caso existam) os pontos críticos da função

f x , y = 3 x 2 + 8 x y 2 - 14 x - 16 y

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis e nos pede para determinar os pontos críticos da mesma, ou seja, os pontos x 0 , y 0 onde esta função fornece ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 .

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos

f x , y = 3 x 2 + 8 x y 2 - 14 x - 16 y

Assim, calculando as derivadas parciais:

∂ ∂ x f x , y =   ∂ ∂ x 3 x 2 + 8 x y 2 - 14 x - 16 y

∂ ∂ x f x , y = 6 x + 8 y 2 - 14  

Veja que consideramos o y como uma constante na derivada parcial em relação a x !

Agora a derivada em relação a y :

∂ ∂ y f x , y = ∂ ∂ y 3 x 2 + 8 x y 2 - 14 x - 16 y

∂ ∂ y f x , y = 16 x y - 16

E forçando ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 , obtemos o sistema:

∂ ∂ x f x , y = 6 x + 8 y 2 - 14 = 0 ∂ ∂ y f x , y = 16 x y - 16 = 0

Passo 3

Complicou mais agora! Vamos isolar o x na segunda equação:

16 x y - 16 = 0

16 x y = 16

x y = 1

x = 1 y

Substituindo na primeira, obtemos:

6 x + 8 y 2 - 14 = 0

6 1 y + 8 y 2 - 14 = 0

Obtemos então o sistema abaixo:

x = 1 y 6 + 8 y 3 - 14 y = 0

Passo 4

Só chutando mesmo, vemos que y = 1 e y = 1 / 2 são raízes (com x = 1 e x = 2 associados). Agora, para descobrir a terceira raiz, que vamos chamar de R , escrevemos a equação em sua forma compacta:

6 + 8 y 3 - 14 y = 8 y - 1 y - 1 2 y - R

Se fossemos desenvolver a igualdade acima, acabaríamos por descobri que é necessário que se tenha 6 = 8 - 1 2 - 1 - R . Assim, obtemos a terceira raiz como sendo:

R = - 3 2

Logo com o

x = - 2 3

Assim, acabamos de descobrir que a f possui três pontos críticos no total: 1,1 , 2 , 1 2 e - 2 3 , - 3 2 .

Resposta

1,1 , 2 , 1 2 e - 2 3 , - 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas parciaias de primeira ordem da função. w = ln ⁡ ( x + 2 y + 3 z )
Determine as derivadas parciaias de primeira ordem da função. w = z e x y z
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função u = x y z