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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 4

Calcule a derivada direcional de f x , y = 1 + x 2 + y 2 no ponto ( 2 ,   2 ) e na direção

a) v → = ( 1,2 ) b) w → = - i → + 2 j →

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f x , y = 1 + x 2 + y 2 no ponto ( 2 ,   2 ) em duas direções diferentes. Para isso, basta lembrar que a derivada direcional em uma direção u → é dada por

∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ u ^

Não se esqueça que no produto escalar devemos usar o vetor unitário da direção!

Nesse caso, o gradiente é

∇ f x , y = 1 2 1 + x 2 + y 2 2 x ,   2 y = 1 1 + x 2 + y 2 ( x ,   y )

Assim,

∇ f 2,2 = 1 3 2 ,   2

Passo 2

Para o item (a), temos v → = ( 1 ,   2 ) , cuja norma é 1 + 4 = 5 . Assim,

v ^ = 1 5 ( 1 ,   2 )

Portanto,

∂ f ∂ v → 2 , 2 = 1 3 2,2 ⋅ 1 5 1,2 = 1 3 5 ⋅ 6 = 2 5

Passo 3

Já para o item (b), temos que w → = ( - 1,2 ) . Assim,

∂ f ∂ w → 2,2 = 1 3 2,2 ⋅ 1 5 - 1,2 = 1 3 5 ⋅ 2 = 2 3 5

Resposta

2 5

2 3 5

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