Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 4

Calcule a derivada direcional de f x , y = 1 + x 2 + y 2 no ponto ( 2 ,   2 ) e na direção

a) v → = ( 1,2 ) b) w → = - i → + 2 j →

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f x , y = 1 + x 2 + y 2 no ponto ( 2 ,   2 ) em duas direções diferentes. Para isso, basta lembrar que a derivada direcional em uma direção u → é dada por

∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ u ^

Não se esqueça que no produto escalar devemos usar o vetor unitário da direção!

Nesse caso, o gradiente é

∇ f x , y = 1 2 1 + x 2 + y 2 2 x ,   2 y = 1 1 + x 2 + y 2 ( x ,   y )

Assim,

∇ f 2,2 = 1 3 2 ,   2

Passo 2

Para o item (a), temos v → = ( 1 ,   2 ) , cuja norma é 1 + 4 = 5 . Assim,

v ^ = 1 5 ( 1 ,   2 )

Portanto,

∂ f ∂ v → 2 , 2 = 1 3 2,2 ⋅ 1 5 1,2 = 1 3 5 ⋅ 6 = 2 5

Passo 3

Já para o item (b), temos que w → = ( - 1,2 ) . Assim,

∂ f ∂ w → 2,2 = 1 3 2,2 ⋅ 1 5 - 1,2 = 1 3 5 ⋅ 2 = 2 3 5

Resposta

2 5

2 3 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x
O mapa de contorno mostra a temperatura máxima média em novembro de 2004 (em ºC). Estime o valor da derivada direcional da função da temperatura em Dubbo, New South Wales, na direção de Sydney. Quais
Retas no plano xy Mostre que A(x – x0) + B(y – y0) = 0 é uma equação para a reta no plano xy passando pelo ponto (x0, y0) normal ao vetor N = Ai + Bj.
Retas no plano xy Mostre que A(x – x0) + B(y – y0) = 0 é uma equação para a reta no plano xy passando pelo ponto (x0, y0) normal ao vetor N = Ai + Bj.