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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 8e

Calcule a derivada segunda.

x = e^t cos t

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (t) g (t))^' = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t)

Temos que:

h (t) = e^t

e

g (t) = cos t

Assim:

x^' = (d x)/(d t) = (d)/(d t) (e^t cos t) = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t) = (e^t)^' * cos t + (cos t)^' * e^t

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica:

(e^(f (t)))^' = e^(f (t)) * f ( t ) '

(cos (t))^' = - sen (t)

(sen (t))^' = cos (t)

Vamos calcular h ' ( t ) , usando a regra da função exponencial:

h ' ( t ) = (e^t)^' = e^t * (t)^' = e^t * t^(1 - 1) = e^t * t^0 = e^t * 1 = e^t

Com g ' ( t ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( t ) = (cos t)^' = - sen (t)

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

x^' = (d x)/(d t) = (d)/(d t) (t sen t) = h^' (t) g (t) + g^' (t) h (t) = (e^t)^' * cos t + (cos t)^' * e^t = e^t * cos t + (- sen t) * e^t = e^t cos t - e^t sen t

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora x^' :

x^(' ') = (x^')^' = (d^2 x)/(d t^2) = (d)/(d t) ((d x)/(d t)) = (d)/(d t) (e^t cos t - e^t sen t)^' = (e^t cos t + e^t (- sen t)) - (e^t sen t + e^t cos t) = e^t cos t - e^t sen t - e^t sen t - e^t cos t = - 2 e^t sen t

Resposta

x^(' ') = (d^2 x)/(d t^2) = - 2 e^t sen t

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