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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 14d

Calcule F^' (x) sendo F (x) igual a

(1 + sqrt(x)) e^x tg x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = (1 + sqrt(x)) e^x

e

g (x) = tg x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = ((1 + sqrt(x)) e^x)^' * tg x + (tg x)^' * (1 + sqrt(x)) e^x

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica, do polinômio e da função constante:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(tg (x))^' = sec^2 (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

(r (x) s (x))^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x)

Temos que:

r (x) = 1 + sqrt(x)

e

s (x) = e^x

Assim:

((1 + sqrt(x)) e^x)^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x) = (1 + sqrt(x))^' * e^x + (e^x)^' * (1 + sqrt(x))

Para calcular r^' (x) vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

r ' ( x ) = (1 + sqrt(x))^' = (1 + x^((1)/(2)))^' = 0 + (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial:

s ' ( x ) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Substituindo de volta:

((1 + sqrt(x)) e^x)^' = (1 + sqrt(x))^' * e^x + (e^x)^' * (1 + sqrt(x)) = (1)/(2 sqrt(x)) * e^x + e^x * (1 + sqrt(x)) = e^x ((1)/(2 sqrt(x)) + 1 + sqrt(x))

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (tg x)^' = sec^2 (x)

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((1 + sqrt(x)) e^x)^' * tg x + (tg x)^' * (1 + sqrt(x)) e^x = e^x ((1)/(2 sqrt(x)) + 1 + sqrt(x)) * tg x + sec^2 (x) * (1 + sqrt(x)) e^x = e^x ((tg x)/(2 sqrt(x)) + tg x + tg x sqrt(x) + sec^2 (x) * (1 + sqrt(x)))

Resposta

f^' (x) = e^x ((tg x)/(2 sqrt(x)) + tg x + tg x sqrt(x) + sec^2 (x) * (1 + sqrt(x)))

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