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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 1c

Calcule as derivadas parciais de

w (x , y , z) = (x y z)/(x + y + z)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de três variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos w (x , y , z) = (x y z)/(x + y + z) . Assim, calculando a derivada em x , temos:

(del w (x , y , z))/(del x) = (del)/(del x) [(x y z)/(x + y + z)] = x y z (del)/(del x) [(1)/(x + y + z)] + (1)/(x + y + z) (del)/(del x) [x y z]

Dai,

(del w (x , y , z))/(del x) = x y z [- (1)/((x + y + z)^2)] + (1)/(x + y + z) [y z]

Limpando um pouquinho mais, chegamos a

(del w (x , y , z))/(del x) = - (x y z)/((x + y + z)^2) + (y z (x + y + z))/((x + y + z)^2) = (y z (y + z))/((x + y + z)^2)

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

(del w (x , y , z))/(del y) = (del)/(del y) [(x y z)/(x + y + z)] = x y z (del)/(del y) [(1)/(x + y + z)] + (1)/(x + y + z) (del)/(del y) [x y z]

Dai,

(del w (x , y , z))/(del y) = x y z [- (1)/((x + y + z)^2)] + (1)/(x + y + z) [x z]

Limpando um pouquinho mais, chegamos a

(del w (x , y , z))/(del y) = - (x y z)/((x + y + z)^2) + (x z (x + y + z))/((x + y + z)^2) = (y z (x + z))/((x + y + z)^2)

Passo 4

Por fim, calculando a derivada em z , temos:

(del w (x , y , z))/(del z) = (del)/(del z) [(x y z)/(x + y + z)] = x y z (del)/(del z) [(1)/(x + y + z)] + (1)/(x + y + z) (del)/(del z) [x y z]

Dai,

(del w (x , y , z))/(del z) = x y z [- (1)/((x + y + z)^2)] + (1)/(x + y + z) [x y]

Limpando um pouquinho mais, chegamos a

(del w (x , y , z))/(del z) = - (x y z)/((x + y + z)^2) + (x y (x + y + z))/((x + y + z)^2) = (x y (x + y))/((x + y + z)^2)

Resposta

(del w (x , y , z))/(del x) = (y z (y + z))/((x + y + z)^2)

(del w (x , y , z))/(del y) = (y z (x + z))/((x + y + z)^2)

(del w (x , y , z))/(del z) = (x y (x + y))/((x + y + z)^2)

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