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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 1b

Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t :

z = y e x + x e y , x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t .

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente vai ter de substituir as variaveis x e y pela função que elas equivalem, porque assim a gente vai conseguir formar uma função apenas em função de t . Então bora lá!

z = y e x + x e y

Substituindo ficamos com: z = ( sin ⁡ t ) e ( cos ⁡ t ) + ( cos ⁡ t ) e ( sin ⁡ t )

Passo 2

Belezinha, agora vamos ter que devirar isso, pra isso vamos usar a regra do produto para derivadas, que é assim:

f x ⋅ g x = f ' x ⋅ g x + f x ⋅ g ' ( x )

Vamos fazer isso e ver como fica:

z = sin ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t

→ d z d t = cos ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t + sin ⁡ t ⋅ [ - sin ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t ] + - sin ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ [ cos ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t ]

Não podemos esquecer da regra da cadeira para derivar algo tipo e g x , pois fica g ' x ⋅ e g x ' .

Passo 3

Por fim, a gente simplifica a função que encontramos pra ficar mais bonita do jeito que o professor gosta, vamos lá:

d z d t = cos ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t - sin ⁡ t ⋅ [ sin ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t ] + - sin ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ [ cos ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t ]

→ d z d t = cos ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t - sin 2 ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t - sin ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t + cos 2 ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t

→ d z d t = ( cos ⁡ t - sin 2 ⁡ t ) ⋅ e cos ⁡ t ( - sin ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) ⋅ e sin ⁡ t

E prontinho. 😊

Resposta

d z d t = ( cos ⁡ t - sin 2 ⁡ t ) ⋅ e cos ⁡ t ( - sin ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) ⋅ e sin ⁡ t

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