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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 3b

Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :

z = x^2 y , x = (u)/(v) , y = u * e^v

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente vai ter de substituir as variaveis x e y pela função que elas equivalem, porque assim a gente vai conseguir formar uma função apenas em função de u e v . Então bora lá!

z = x^2 y

Substituindo ficamos com: z = ((u)/(v))^2 * ( u * e^v )

-> z = (u^3)/(v^2) * e^v

Passo 2

Belezinha, agora vamos ter que devirar isso, primeiro em relação a u usando apenas a definição da derivada, fica assim:

(del z)/(del u) = (3 u^2)/(v^2) * e^v

Passo 3

Agora vamos derivar em relação a v , mas pra isso usaremos a propriedade da derivada do produto:

(del z)/(del v) = f^' (v) * g (v) + f (v) * g ' ( v )

-> (del z)/(del v) = ((u^3)/(v^2))^' * (e^v) + ((u^3)/(v^2)) * (e^v)^'

-> (del z)/(del v) = (- (2 u^3)/(v^3)) * (e^v) + ((u^3)/(v^2)) * ( e^v )

-> (del z)/(del v) = - (2 u^3)/(v^3) * e^v + (u^3)/(v^2) * e^v

-> (del z)/(del v) = (u^3)/(v^2) * e^v (1 - (2)/(v))

E prontinho. 😊

Resposta

(del z)/(del u) = 3 (u^2)/(v^2) * e^v

(del z)/(del v) = (u^3)/(v^2) * e^v * (1 - (2)/(v))

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