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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 10

Calcule a integral dupla.

∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 <= x <= e , 0 <= y <= ln x }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:

int_1^e int_0^(ln x) x^3 d y d x

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_1^e (int_0^(ln x) x^3 d y) d x = int_1^e ([x^3 y]_0^(ln x)) d x = int_1^e x^3 ln x d x

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou, usando integração por partes:

int_()^() x^3 ln x d x = (x^4)/(4) ln x - int (x^4)/(4) (1)/(x) d x = (x^4)/(4) ln x - int (x^3)/(4) d x = (x^4)/(4) ln x - (x^4)/(16)

Então, aplicando os limites de integração:

int_1^e x^3 ln x d x = [(x^4)/(4) ln x - (x^4)/(16)]_1^e = (e^4)/(4) ln e - (e^4)/(16) - (1^4)/(4) ln 1 + (1^4)/(16) = (e^4)/(4) - (e^4)/(16) - 0 + (1)/(16) = (3 e^4 + 1)/(16)

Beleza?

Resposta

(3 e^4 + 1)/(16)

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∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D 2 + x 2 y 3 + y 2 sen ⁡ x d A D = x , y |x ≤ y ≤ 1 .
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil ∬ D y 2 e x y d A D é limitada por y = x
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. ∬ D 2 x + 3 y d A ,Déor e t â n g u l o0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b é â
No cálculo de uma integral dupla sobre uma região D , obtivemos uma soma de integrais iteradsa como a que segue: ∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y f x , y d x d y + ∫ 1 3 ∫ 0 3 - y f x , y d x d y Esboc