Calcule a integral dupla.

∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 <= x <= e , 0 <= y <= ln x }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:

int_1^e int_0^(ln x) x^3 d y d x

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_1^e (int_0^(ln x) x^3 d y) d x = int_1^e ([x^3 y]_0^(ln x)) d x = int_1^e x^3 ln x d x

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou, usando integração por partes:

int_()^() x^3 ln x d x = (x^4)/(4) ln x - int (x^4)/(4) (1)/(x) d x = (x^4)/(4) ln x - int (x^3)/(4) d x = (x^4)/(4) ln x - (x^4)/(16)

Então, aplicando os limites de integração:

int_1^e x^3 ln x d x = [(x^4)/(4) ln x - (x^4)/(16)]_1^e = (e^4)/(4) ln e - (e^4)/(16) - (1^4)/(4) ln 1 + (1^4)/(16) = (e^4)/(4) - (e^4)/(16) - 0 + (1)/(16) = (3 e^4 + 1)/(16)

Beleza?

Resposta

(3 e^4 + 1)/(16)

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