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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 8

Calcule a integral dupla.

∬ D   4 y x 3 + 2 d A   ,                     D = x ,   y   1 ≤ x ≤ 2   ,   0 ≤ y ≤ 2 x }

Passo 1

Faala minha turminha, tudo bem com vocês!? Bora lá gabaritar!

Vamos focar no enunciado primeiro. Veja que o enunciado nos forneceu uma integral dupla com limites de integração na região D e precisamos determinar o valor dessa integral.

∬ D   4 y x 3 + 2 d A  

D = x ,   y   1 ≤ x ≤ 2   ,   0 ≤ y ≤ 2 x }

Não sei como fazer isso? Muita calma, vamos montar uma estratégia juntos, beleza!?

Bom, a nossa primeira etapa é montar a integral na ordem correta de integração. Importante lembrar, que sempre começamos a integrar de dentro para fora, e começamos por funções. Como assim?

Observando a expressão, e perceba que precisamos primeiro integrar em d y . Porque? O y varia de 0 até uma função 2 x . Por último, integramos em d x   e novamente aplicamos os limites de integração.

Ao integrar em d x , precisaremos aplicar o método da substituição, lembra?

u = x 3 + 2

d u = 3 x 2 d x

Chamamos um termo de u , e aplicamos sua derivada d u e aplicamos na integral.

Logo, a cara da nossa integral dupla vai ser assim:

∫ 1 2 ∫ 0 2 x 4 y x 3 + 2   d y   d x

Com esse bizu, você vai gabaritar essa! Bora começar!?

Passo 2

Galera, conforme os descrito na estratégia de resolução vamos escrever a integral na forma de integral dupla, ficando com:

∫ 1 2 ∫ 0 2 x 4 y x 3 + 2   d y   d x

Lembrando que, como y está dependendo de x (é uma função) ele tem que ficar na integral de dentro.

Então vamos começar integrando em dy.

∫ 1 2 ∫ 0 2 x 4 y x 3 + 2 d y d x

Lembrando que tudo que não depender de y pode ser considerado como constante.

Integrando em d y temos,

∫ 1 2 2 y 2 x 3 + 2 0 2 x d x

Aplicando os limites de integração em y , ficamos com:

∫ 1 2 8 x 2 x 3 + 2 d x

Passo 3

Agora, vamos integrar em dx. Mas calma lá, observe que precisamos aplicar o método da substituição conforme falamos na estratégia da resolução.

∫ 1 2 8 x 2 x 3 + 2   d x

Vamos usar a famosa substituição simples

u = x 3 + 2

d u = 3 x 2 d x

d u 3 = x 2 d x

Então ficamos com

8 ∫ 1 u d u 3

Agora vamos ajustar os novos intervalos, convertermos os intervalos de x para u . Fazendo:

x = 1 ,     u = x 3 + 2 = 1 3 + 2 = 3

x = 2 ,     u = x 3 + 2 = 2 3 + 2 = 10

Uma outra opção seria integrar em u , e depois voltar com o valor de u = x 3 + 2 no resultado. Assim, iria manter os intervalos iniciais em x .

Nossa integral, fica:

8 ∫ 3 10 1 u d u 3

Resolvendo essa integral temos

= 8 ln ⁡ u 3 3 10

Aplicando os limites de integração,

= 8 3 ln ⁡ 10 - ln ⁡ 3

Podemos ajeitar a expressão, lembrando de umas das propriedades do logaritmo natural:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - l n ⁡ ( b )

Logo, fica

= 8 3 ln ⁡ 10 3

Assim, a resposta da integral dupla é:

∫ 1 2 ∫ 0 2 x 4 y x 3 + 2   d y   d x = 8 3 ln ⁡ 10 3

Resposta

8 3 ln ⁡ 10 3

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