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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 6

Calcule as integrais iteradas.

∫ 0 1 ∫ 0 v 1 - v 2 d u   d v

Passo 1

Vamos lá pessoal! Tudo certo? Temos uma questão de integral dupla, que é uma integral “dentro” da outra. A metodologia de solução aqui é a seguinte: resolveremos a integral de dentro e aplicaremos os limites de integração normalmente. Após isso sobrará a integral de “fora” em relação a v que será resolvida. Vamos começar?

Passo 2

Temos a seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ 0 v 1 - v 2 d u   d v

Resolvendo a parte de “dentro”:

∫ 0 1 ∫ 0 v 1 - v 2   d u d v

Veja que estamos integrando em relação a u , então esse termo todo dentro da integral foi considerado constante. E fizemos na realidade:

∫ 0 1 1 - v 2 . ∫ 0 v d u   d v

Então:

∫ 0 1 u 1 - v 2 0 v   d v

∫ 0 1 v 1 - v 2 - 0   .   1 - v 2   d v = ∫ 0 1 v 1 - v 2   d v

Passo 3

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 0 1 v 1 - v 2   d v = - 1 - v 2 3 2 3 0 1

- 1 - 1 2 3 2 3 + 1 - 0 2 3 2 3 = 1 3

Beleza?

Resposta

1 3

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