Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 4c

Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.

∫ ∫ ∫ W z   d x d y d z

Onde W é o sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , z = 3 x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Para calcularmos a integral tripla, o primeiro passo é determinar o domínio das variáveis para saber os limites de integração. No entanto, não é simplesmente determinar esses valores.

Se fizermos o esboço dessas superfícies (mostrado a seguir) conseguimos ver que elas representam cones circulares e uma esfera:

Como estaremos tratando de superfícies esféricas, no item i i ) da seção 5.10.1 (livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED.) temos que a substituição das variáveis x ,   y ,   z serão dadas por:

x = ρ s e n φ cos ⁡ θ

y = ρ s e n φ s e n θ

E:

z = ρ cos ⁡ φ

E a nossa integral será dada por:

∫ ∫ ∫ W z   d x d y d z = ∫ ∫ ∫ Q ρ cos ⁡ φ ρ 2 s e n φ   d ρ d θ d φ

Onde:

Q = ρ ,   θ ,   φ ∈ R 3   |   ρ ≥ 0 ,     θ 0 ≤ θ ≤ θ 0 + 2 π ,     0 ≤ φ ≤ π

Através do esboço, podemos ver que θ dá uma volta inteira no plano x y ao redor do eixo z b, visto que todas as superfícies são formadas por círculos nesse plano. Logo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora, precisamos determinar os valores que serão os intervalos de cada variável. Para isso, vamos começar fazendo as substituições na equação da esfera. Então:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → ρ s e n φ cos ⁡ θ 2 + ρ s e n φ s e n θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 4

Isso resulta em:

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 4

Juntando os termos semelhantes:

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 4

E lembrando da identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1

Podemos reescrever:

ρ 2 s e n 2 φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 4

Tal que:

⇒ ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ φ = 4

∴ ρ 2 = 4 → ρ = ± 4 = ± 2

Como ρ ≥ 0 , então iremos assumir:

ρ = 2

Logo:

0 ≤ ρ ≤ 2

Passo 3

Agora, se substituirmos as variáveis na equação do cone maior, teremos:

z = x 2 + y 2 → x 2 + y 2 = z 2

Tal que:

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ = ρ 2 cos 2 ⁡ φ

⇒ ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = ρ 2 cos 2 ⁡ φ

Aplicando a identidade trigonométrica citada anteriormente:

ρ 2 s e n 2 φ = ρ 2 cos 2 ⁡ φ

Dividindo tudo por ρ 2 :

s e n 2 φ = cos 2 ⁡ φ

Portanto:

t g 2 φ = 1 → t g φ = ± 1

Como φ é positivo, temos que:

t g φ = 1 ⇒ φ = π 4

Já para a equação do cone menor:

z = 3 x 2 + y 2 → 3 x 2 + y 2 = z 2

Ou seja:

3 ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ = ρ 2 cos 2 ⁡ φ

⇒ 3 ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = ρ 2 cos 2 ⁡ φ

Usando a identidade trigonométrica:

3 ρ 2 s e n 2 φ = ρ 2 cos 2 ⁡ φ

Dividindo tudo por ρ 2 :

3 s e n 2 φ = cos 2 ⁡ φ

Portanto:

t g 2 φ = 1 3 → t g φ = ± 1 3 = ± 3 3

Como φ é positivo, temos que:

t g φ = 3 3 ⇒ φ = π 6

Logo:

π 6 ≤ φ ≤ π 4

Passo 4

Com todos esses resultados obtidos, podemos reescrever a integral tripla como:

∫ ∫ ∫ Q ρ cos ⁡ φ ρ 2 s e n φ   d ρ d θ d φ = ∫ π 6 π 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ 3 s e n φ cos ⁡ φ d ρ d θ d φ

Ou ainda:

∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ 3 d ρ d θ d φ

Então, resolvendo a primeira integral:

∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ ∫ 0 2 π ρ 4 4 | 2 0 d θ d φ

E substituindo o intervalo de integração:

∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ ∫ 0 2 π 16 4 d θ d φ = ∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ ∫ 0 2 π 4 d θ d φ

Passo 5

A segunda integral nos dará:

∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ ∫ 0 2 π 4 d θ d φ = ∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ 4 θ | 2 π 0 d φ

E substituindo os limites de integração:

∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ 4 θ | 2 π 0 d φ = ∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ 8 π d φ

Ou ainda:

∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ 8 π d φ = 8 π ∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ d φ

Passo 6

Por fim, a última integral pode ser calculada pelo método da substituição simples com u = s e n φ , tal que d u = c o s φ d φ . Assim:

Quando φ = π 4 → u = 2 2

Quando φ = π 6 → u = 1 2

Logo:

8 π ∫ π 6 π 4 s e n φ cos ⁡ φ d φ = 8 π ∫ 1 2 2 2 u d u

Ou seja:

⇒ 8 π u 2 2 | 2 2 1 2

E substituindo os limites de integração:

8 π u 2 2 | 2 2 1 2 = 4 π 2 2 2 - 1 2 2

⇒ 4 π 2 4 - 1 4 = 4 π 1 4

∴ ∫ ∫ ∫ W z   d x d y d z = π

Resposta

π

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