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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 66

Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

g r , s , t = e r s e n   ( s t ) ,             g r s t

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função u e pede para que encontremos uma derivada parcial específica, nesse caso de terceira ordem.

Relembrando: Para calcular uma derivada parcial em uma variável tratamos as demais como constante e derivamos normal.

A diferença para esse caso é que buscamos uma derivada de terceira ordem, ou seja, vamos precisar derivar três vezes, seguindo a ordem do índice!

Passo 2

Veja que a questão nos pede

g r s t

E para chegarmos nesse resultado devemos seguir a seguinte cronologia:

∂ g ∂ r →   ∂ ² g ∂ s ∂ r →   ∂ ³ g ∂ r ∂ s ∂ t

Ou seja, vamos derivar a função em r , depois s e por fim t

Seja a função g

g r , s , t = e r s e n   ( s t )

Encontrando a derivada em r (tratando s e t como constantes)

g r = e r   s e n   ( s t )

Agora vamos derivar g r com relação a s

g r s = t   e r cos ⁡ s t

E por fim, vamos derivar g r s em relação t , mas veja que g r s é o produto de duas funções de t .

Dessa forma, vamos usar a regra do produto!

Relembrando a regra do produto:

Se temos uma função

z = f ( x ) g x

A derivada dessa função vai ser dada por:

z ' = f x ' g x + f ( x ) g x '

Assim, para o nosso caso, finalmente encontramos:

g r s t = e r cos ⁡ ( s t ) - t e r   s e n   s t ⋅ s

Resposta

g r s t = e r cos ⁡ ( s t ) - s t e r   s e n   ( s t )

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