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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 8

Calcule a integral dupla.

∬_D^() (y)/(x^5 + 1) d A

D = {(x , y)| 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= x^2 }

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Precisamos entender que tipo de região estamos trabalhando para poder resolver a integral.

Como temos y variando em torno de duas funções f ( x ) e g (g) , então, temos uma região do tipo I (curvas acima e abaixo e retas à esquerda e à direita).

Agora que compreendemos a nossa região, já podemos montar a nossa integral! Portanto, integraremos primeiramente em relação a y e depois a x . Logo,

int_0^1 int_0^(x^2) (y)/(x^5 + 1) d y d x

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y . Portanto, temos:

int_0^1 int_0^(x^2) (y)/(x^5 + 1) d y d x = int_0^1 (1)/(x^5 + 1) * ((y^2)/(2))_0^(x^2) d x

int_0^1 (1)/(x^5 + 1) * ((x^4 - 0)/(2)) d x = int_0^1 (1)/(2) * (x^4)/(x^5 + 1) d x

Passo 3

Agora, podemos resolver a nossa integral em relação a variável x . Portanto, temos:

int_0^1 (1)/(2) * (x^4)/(x^5 + 1) d x

Esta integral é resolvida através do método de substituição, basta chamar u = x^5 + 1 e d u = 5 x^4 d x e fazer a substituição. Desta forma, vamos obter que:

int_0^1 (1)/(2) * (x^4)/(x^5 + 1) d x = (1)/(2) * ((ln x^5 + 1)/(5))_0^1

(1)/(2) * ((ln 2 - ln 1)/(5)) = (ln 2)/(10)

Resposta

∬_D^() (y)/(x^5 + 1) d A = (ln 2)/(10)

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