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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 19

Calcule a integral dupla.

∬ D y 2 d A

D é a região triangular com vértices 0,1 , 1,2 , 4,1 .

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Nosso primeiro passo é esboçar a região e entender qual tipo de região estamos trabalhando.

Uma região do tipo 1 é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais. Portanto, o seu domínio é:

D = x , y x 0 ≤ x ≤ x 1 ,   g x ≤ y ≤ f x }

Já uma região do tipo 2 é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Portanto, temos o seguinte domínio:

D = x , y y 0 ≤ y ≤ y 1 ,   g y ≤ x ≤ f y }

Vamos então entender como a nossa região se comporta para podermos montar a integral.

Passo 2

Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,

Começaremos por descrever cada uma dessas retas. A reta que liga os pontos A = ( 0,1 ) e B = 1,2 é:

y - 1 = 2 - 1 1 - 0 x - 0

y = x + 1

Já a reta que liga os pontos B = 1,2 e C = 4,1 é:

y - 2 = 1 - 2 4 - 1 x - 1

y = - x 3 + 7 3

Por fim, a reta que liga os pontos A = 0 , 1 e C = 4,1 é uma reta horizontal y = 1 .

Agora que descrevemos todas as funções que limitam a fronteira da nossa região D, podemos decidir qual tipo a nossa região se enquadra melhor.

Neste caso, o que melhor se enquadra é uma região do tipo II. Conseguimos escrever toda a nossa região a partir de uma única integral (pois no tipo I temos duas curvas que limitam a parte superior).

Passo 3

Agora podemos começar a escrever a nossa região. Como a região do tipo II é limitada à esquerda por uma curva e à direita por outra, temos:

y - 1 ≤ x ≤ 7 - 3 y

Já os limites superiores e inferiores são 1 ≤ y ≤ 2 . Portanto, temos a seguinte integral:

∬ D y 2 d A = ∫ 1 2 ∫ y - 1 7 - 3 y y 2 d x d y

Resolvendo-a, temos:

∫ 1 2 ∫ y - 1 7 - 3 y y 2 d x d y = ∫ 1 2 y 2 x y - 1 7 - 3 y d y

∫ 1 2 y 2 7 - 3 y - y + 1 d y = ∫ 1 2 - 4 y 3 + 8 y 2 d y

∫ 0 2 - 4 y 3 + 8 y 2 d y = - y 4 + 8 y 3 3 1 2

- 16 + 64 3 - - 1 + 8 3 = 16 3 - 5 3 = 11 3

Resposta

∬ D y 2 d A = 11 3

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