Calcule a integral dupla. ∬_R x s e n ( x + y ) d A ; R = [0 , (pi)/(6)] xx [0 , (pi)/(3)] Passo 1Vamos montar a integral iterada com os limites de integração: int_0^((pi)/(6)) int_0^((pi)/(3)) x s e n ( x + y ) d y d x Beleza, a gente vai integrar em y primeiro, como se x fosse constante. Passo 2 int_0^((pi)/(6)) [- x cos (x + y)]_0^((pi)/(3)) d x - int_0^((pi)/(6)) x cos (x + (pi)/(3)) + x cos x d x Ok! Vamos integrar em x agora... Passo 3A gente pode separar em duas: - int_0^((pi)/(6)) x cos (x + (pi)/(3)) d x + int_0^((pi)/(6)) x cos x d x E resolver cada uma por integração por partes... - ([x sen (x + (pi)/(3))]_0^((pi)/(6)) - int_0^((pi)/(6)) sen (x + (pi)/(3)) d x) + ([x sen x]_0^((pi)/(6)) - int_0^((pi)/(6)) sen x d x) - ([x sen (x + (pi)/(3))]_0^((pi)/(6)) - [- cos (x + (pi)/(3))]_0^((pi)/(6))) + ([x sen x]_0^((pi)/(6)) - [- cos x]_0^((pi)/(6))) - (((pi)/(6) * 1 - 0 * (sqrt(3))/(2)) - (- 0 + (1)/(2))) + (((pi)/(6) * (1)/(2) - 0 * 0) - (- (sqrt(3))/(2) + 1)) - (pi)/(6) + (1)/(2) + (pi)/(12) + (sqrt(3))/(2) - 1 = (sqrt(3) - 1)/(2) - (pi)/(12) Pronto!! Resposta (sqrt(3) - 1)/(2) - (pi)/(12) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSeja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:j) x y^2Utilizando o Exercício 2, calcule: c )∬ A x ln yd x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 .Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x y e x 2 - y 2d x d y , onde A é o retângulo - 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 .Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que ∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d yUtilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x ys e nx 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 .Ver TambémVer Livro Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James StewartVer tudo sobre Integrais DuplasLista de exercícios de Região Retangular e Teorema de FubiniVer exercício 15.1 - 50Ver exercício 15.6 - 4