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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 31

Calcule a integral dupla.

∬_R x s e n ( x + y ) d A ; R = [0 , (pi)/(6)] xx [0 , (pi)/(3)]

Passo 1

Vamos montar a integral iterada com os limites de integração:

int_0^((pi)/(6)) int_0^((pi)/(3)) x s e n ( x + y ) d y d x

Beleza, a gente vai integrar em y primeiro, como se x fosse constante.

Passo 2

int_0^((pi)/(6)) [- x cos (x + y)]_0^((pi)/(3)) d x

- int_0^((pi)/(6)) x cos (x + (pi)/(3)) + x cos x d x

Ok! Vamos integrar em x agora...

Passo 3

A gente pode separar em duas:

- int_0^((pi)/(6)) x cos (x + (pi)/(3)) d x + int_0^((pi)/(6)) x cos x d x

E resolver cada uma por integração por partes...

- ([x sen (x + (pi)/(3))]_0^((pi)/(6)) - int_0^((pi)/(6)) sen (x + (pi)/(3)) d x) + ([x sen x]_0^((pi)/(6)) - int_0^((pi)/(6)) sen x d x)

- ([x sen (x + (pi)/(3))]_0^((pi)/(6)) - [- cos (x + (pi)/(3))]_0^((pi)/(6))) + ([x sen x]_0^((pi)/(6)) - [- cos x]_0^((pi)/(6)))

- (((pi)/(6) * 1 - 0 * (sqrt(3))/(2)) - (- 0 + (1)/(2))) + (((pi)/(6) * (1)/(2) - 0 * 0) - (- (sqrt(3))/(2) + 1))

- (pi)/(6) + (1)/(2) + (pi)/(12) + (sqrt(3))/(2) - 1

= (sqrt(3) - 1)/(2) - (pi)/(12)

Pronto!!

Resposta

(sqrt(3) - 1)/(2) - (pi)/(12)

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Utilizando o Exercício 2, calcule: c )∬ A x ln ⁡ yd x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 .
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Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que ∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x ys e nx 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 .