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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 4

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ y 2 y ∫ 0 x + y 6 x y   d z d x d y

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo tranquilo?

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ y 2 y ∫ 0 x + y 6 x y   d z d x d y

Nas integrais triplas cada uma das integrais é calculada em relação a uma variável e a ordem de integração segue a sequência “de dentro pra fora”. Cada integral interna é calculada primeiro, e em seguida a integral “do meio”, até a integral mais externa. Esse processo vai resultar num valor que vai ser o valor de toda a integral tripla.

Vamos juntos, passo a passo!

Passo 2

Começaremos o exercício calculando a integral em função de z , já que é a integral “de dentro”. Aqui todas as demais variáveis são tratadas como constante:

∫ 0 1 ∫ y 2 y ∫ 0 x + y 6 x y   d z d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x y z z = 0 z = x + y d x d y

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x y ( x + y ) d x d y

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x 2 y + 6 x y 2 d x d y

Passo 3

Agora podemos calcular a integral em função de x . Aqui todas as demais variáveis são tratadas como constante:

∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x 2 y + 6 x y 2 d x d y = ∫ 0 1 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 x = y x = 2 y d y

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 16 y 4 + 12 y 4 - ( 2 y 4 + 3 y 4 ) d z

E, simplificando, obtemos:

∫ 0 1 23 y 4 d y

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de y .

∫ 0 1 23 y 4 d y = 23 5 y 5 0 1

Aplicando os limites de integração:

23 5 y 5 0 1 = 23 5 - 0

E, dessa forma o valor da integral é:

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z = 23 5

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z = 23 5

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