Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 4

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ y 2 y ∫ 0 x + y 6 x y   d z d x d y

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo tranquilo?

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ y 2 y ∫ 0 x + y 6 x y   d z d x d y

Nas integrais triplas cada uma das integrais é calculada em relação a uma variável e a ordem de integração segue a sequência “de dentro pra fora”. Cada integral interna é calculada primeiro, e em seguida a integral “do meio”, até a integral mais externa. Esse processo vai resultar num valor que vai ser o valor de toda a integral tripla.

Vamos juntos, passo a passo!

Passo 2

Começaremos o exercício calculando a integral em função de z , já que é a integral “de dentro”. Aqui todas as demais variáveis são tratadas como constante:

∫ 0 1 ∫ y 2 y ∫ 0 x + y 6 x y   d z d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x y z z = 0 z = x + y d x d y

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x y ( x + y ) d x d y

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x 2 y + 6 x y 2 d x d y

Passo 3

Agora podemos calcular a integral em função de x . Aqui todas as demais variáveis são tratadas como constante:

∫ 0 1 ∫ y 2 y 6 x 2 y + 6 x y 2 d x d y = ∫ 0 1 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 x = y x = 2 y d y

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 16 y 4 + 12 y 4 - ( 2 y 4 + 3 y 4 ) d z

E, simplificando, obtemos:

∫ 0 1 23 y 4 d y

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de y .

∫ 0 1 23 y 4 d y = 23 5 y 5 0 1

Aplicando os limites de integração:

23 5 y 5 0 1 = 23 5 - 0

E, dessa forma o valor da integral é:

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z = 23 5

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z = 23 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido delimitado pelo cilindro elíptico 4 x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = 0 e y = z + 2
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido limitado pelo paraboloide x = y 2 + z 2 e pelo plano x = 16
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2 x + y + z = 4 .
Calcule a integral tripla. ∭ E x yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y