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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 3f

Utilizando o Exercício 2, calcule:

d )   ∬ A x y   s e n   x 1 + 4 y 2   d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

A gente vai usar o resultado do exercício 2. Ou seja:

∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y

Vamos aplicar isso na nossa integral então...

∫ 0 1 ∫ 0 π / 2 x y   s e n   x 1 + 4 y 2   d x d y

= ∫ 0 π 2 x   s e n   x   d x ∫ 0 1 y 1 + 4 y 2 d y

=   - x c o s   x + s e n   x 0 π 2 ln ⁡ 1 + 4 y 2 8 0 1

= - π 2 cos ⁡ π 2 + s e n π 2 0 π 2   ln ⁡ 5 8 - ln ⁡ 1 8

= 1 ln ⁡ 5 8

= ln ⁡ 5 8

Prontinho! Calculamos a integral usando o resultado do exercício anterior😉

Resposta

ln ⁡ 5 8

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Se R = 0,1 × [ 0,1 ] , mostre que 0 ≤ ∬ R sen ⁡ x + y d A ≤ 1 .
Utilize uma calculadora programável ou computador (ou comando-soma de um CAS) para estimar ∬ R e - x 2 - y 2 d A Onde R = 0,1 × 0,1 . Utilize a Regra do Ponto Médio com os seguintes números quadrados
Calcular ∬ R f x ,y d x d y , onde:a) f x ,y = x e x y ; R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 1
Calcular ∬ R f x ,y d x d y , onde:b) f x ,y = y e x y ; R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 1
Calcular ∬ R f x ,y d x d y , onde:c) f x ,y = x cos ⁡ x y ; R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ π 2