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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 2

Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que

∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y

Passo 1

Bom, vamos começar escrevendo essa integral nos intervalos certinhos:

∬ A f x g y d x d y = ∫ c d ∫ a b f x g y d x d y

Aí agora a gente faz umas manipulaçõeszinhas:

= ∫ c d ∫ a b f x g y d x d y

= ∫ c d g ( y ) ∫ a b f x d x d y

= ∫ c d g y d y   ∫ a b f x d x

= ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y

E prontinho! Provamos o que queriam. E a gente vai usar esse resultado muito! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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15.28. Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico z = 1 + x - 1 2 + 4 y 2 , pelos planos x = 3 e y = 2 e pelos planos coordenados.
Uma piscina de 20 pés por 30 pés está cheia de água. A profundidade é medida em intervalos de 5 pés, começando em um canto da piscina, e os valores são registrados na tabela. Estime o volume de água n
Seja V o volume do sólido que se encontra abaixo do gráfico de f x , y = 52 - x 2 - y 2 e acima do retângulo dado por 2 ≤ x ≤ 4 , 2 ≤ y ≤ 6 . Use as linhas x = 3 e y = 4 para dividir R em sub-retângul
Se R = - 1,3× [ 0,2 ] , use a soma de Riemann com m = 4 , n = 2 para estimar o valor de ∬ R y 2 - 2 x 2d A . Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.
Repita o exercício 15 para a integral ∬ R cos ⁡ ( x 4 + y 4 ) d A