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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 50

Use simetria para calcular a integral dupla.

∬ R 1 + x 2 s e n   y + y 2 s e n   x d A ;     R = - π , π × [ - π , π ]

Passo 1

Oi galera, beleza??

Essa questão pede pra calcularmos uma integral usando simetria.

Vamos relembrar os conceitos de simetria/paridade de funções:

Uma função f x é par se f - x = f x . Para funções pares:

∫ - a a f x d x = 2 ∙ ∫ 0 a f x d x , para qualquer a

Uma função f ( x ) é ímpar se f - x = - f ( x ) . Para funções ímpares:

∫ - a a f x d x = 0 , para qualquer a

Nossa estratégia pra resolver vai ser:

Primeiro, a gente vai separar essa integral pra conseguirmos ver funções de uma variável (assim podemos aplicar os conceitos de paridade)

Depois, vamos testar a paridade das funções de uma variável que aparecerem e aplicar isso que acabamos de relembrar!

Passo 2

Pra começar, como essa integral é uma soma, a gente pode separar em três:

∬ R 1 d A + ∬ R x 2 s e n   y   d A + ∬ R y 2 s e n   x   d A

Como R = - π , π × - π , π = x , y | - π ≤ x ≤ π   e - π ≤ y ≤ π , a integral fica:

∫ - π π ∫ - π π 1 d y d x + ∫ - π π ∫ - π π x 2 s e n   y d y d x + ∫ - π π ∫ - π π y 2 s e n   x d y d x =

A primeira integral a gente vai calcular, e a segunda e terceira vamos separar as funções de x e y :

= π - - π ∙ π - - π + ∫ - π π x 2 d x ∙ ∫ - π π s e n   y d y + ∫ - π π y 2 d y ∙ ∫ - π π s e n   x d x

Passo 3

Como sen ⁡ - θ = - sen ⁡ θ para qualquer valor de θ , a função seno é ímpar! Ou seja:

∫ - π π s e n   x d x = ∫ - π π s e n   y d y = 0

Voltando para a integral:

∬ R 1 + x 2 s e n   y + y 2 s e n   x d A = π - - π ∙ π - - π + ∫ - π π x 2 d x ∙ ∫ - π π s e n   y d y + ∫ - π π y 2 d y ∙ ∫ - π π s e n   x d x = = 2 π ∙ 2 π + ∫ - π π x 2 d x ∙ 0 + ∫ - π π y 2 d y ∙ 0 = 4 π 2

Prontinho!!

Resposta

4 π 2

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Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :y e^(x y)
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :h) (1)/((x + y)^2)
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :b ) x - y
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:m) (1)/(1 + x^2 + 2 x y + y^2)
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:l) x s e n ( pi y )