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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 11

Calcule a integral dupla.

∬ D e x / y d A ,                                 D = { ( x , y ) | 1 ≤ y ≤ 2 ,   y ≤ x ≤ y 3 }

Passo 1

E aii, pessoal, tudo certo?

Essa questão da pra gente uma integral sobre uma região D e pede pra gente calcular!

Nosso passo a passo pra resolver vai ser:

Primeiro – usar a região D pra definir os limites de integração para x e y e reescrever a integral como integral iterada

Importante: se os limites de integração de uma das variáveis dependem da outra, essa vai ter que ser a integral mais de dentro, pra fazermos primeiro!

Depois – calcular a integral iterada (sempre de dentro pra fora)

Vamos?

Passo 2

A região é assim:

D = x , y 1 ≤ y ≤ 2 ,   y ≤ x ≤ y 3

Ou seja, os limites de integração são:

1 ≤ y ≤ 2

y ≤ x ≤ y 3

Como os limites de x dependem de y , a integral de x vai ser a mais de dentro:

∬ D e x / y d A = ∫ 1 2 ∫ y y 3 e x / y d x d y

Agora nosso problema virou calcular uma integral iterada!

Passo 3

Vamos começar calculando a integral em função de x :

∫ 1 2 ∫ y y 3 e x / y d x d y =

Fazendo a substituição u = x / y :

d u = 1 y d x ⇒ d x = y d u

u y = 1

u y 3 = y 2

A integral fica:

= ∫ 1 2 ∫ 1 y 2 e u y d u d y =

Como y é constante, ele pode sair dessa integral:

= ∫ 1 2 y ∫ 1 y 2 e u d u d y =

Resolvendo a integral de u :

= ∫ 1 2 y e u 1 y 2 d y =

= ∫ 1 2 y e y 2 - e d y

Passo 4

Por último, vamos calcular a integral de y , separando em duas integrais:

∫ 1 2 y e y 2 - e d y = ∫ 1 2 e y 2 y d y - ∫ 1 2 e y d y =

A primeira integral vamos ter que usar uma substituição u = y 2 :

d u = 2 y d y

u 1 = 1

u 2 = 4

Então:

= ∫ 1 2 e y 2 y d y ⏟ 1 2 d u - ∫ 1 2 e y d y =

= ∫ 1 4 1 2 e u d u - ∫ 1 2 e y d y =

Resolvendo as duas integrais:

= 1 2 ∙ e u 1 4 - e ∙ y 2 2 1 2 =

= 1 2 ∙ e 4 - e 1 - e ∙ 2 2 2 - e ∙ 1 2 2 =

Colocando 1 2 em evidência:

= 1 2 ∙ e 4 - e - e ∙ 4 + e = 1 2 e 4 - 4 e

Resposta

1 2 e 4 - 4 e

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Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ T s e n 4 ( x + y )d A , onde T é o triângulo delimitado pelas retas y = 0 , y = 2 x e x = 1 .
Utilize a simetria para calcular ∬ D 2 - 3 x + 4 yd A , onde D é a região delimitada pelo quadrado com vértices ( ± 5,0 ) e ( 0 , ± 5 ) .
Calcule a integral ∬ D x 2t gx + y 3 + 4d A , onde D = x , yx 2 + y 2 ≤ 2 } . [Sugestão: explore o fato de que D é simétrica com relação a ambos os eixos.]
Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral. ∬ D yd A
Demonstre a propriedade 11.