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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 17

Calcule a integral dupla.

∬ R   x y 2 x 2 + 1 d A

R = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   - 3 ≤ y ≤ 3 }  

Passo 1

Faaaala minha turminha, tudo bem? Vamos começar então!

Vamos entender o enunciado. Ele nos forneceu uma integral dupla com limites de integração na região R e precisamos determinar o valor dessa integral.

∬ R   x y 2 x 2 + 1 d A

R = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   - 3 ≤ y ≤ 3 }  

E agora? Vamos pensar juntos, certo!?

Primeiro é importante lembrar, que sempre começamos a integrar de dentro para fora. Assim vamos montar a nossa integral, de forma que começamos a integrar por d y para facilitar. Ao integrar em d x você vai precisar aplicar o método da substituição do tipo:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x

Sabendo disso, a integral deve ficar com essa carinha de início:

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1   d y d x

Observe que os limites de integração a gente tira da região R , ele forneceu isso no enunciado:

0 ≤ x ≤ 1

- 3 ≤ y ≤ 3

Agora ficou fácil ein, vamos começar a integrar!? Partiu então!

Passo 2

Vamos começar integrando em d y :

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1   d y   d x

Integrando temos:

∫ 0 1 x y 3 3 ( x 2 + 1 ) - 3 3 d x

Aplicando os limites de integração e simplificando:

∫ 0 1 x ( 3 ) 3 3 ( x 2 + 1 ) - x ( - 3 ) 3 3 ( x 2 + 1 ) d x

∫ 0 1 18 x x 2 + 1 d x

Passo 3

Galera, agora vamos integrar em d x .

Primeiro vamos reescrever a integral:

18 ∫ 0 1 x x 2 + 1 d x

Observe que precisamos aplicar o método da substituição para resolver essa integra, fazendo:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x   ∴ d u 2 = d x

Assim,

18 ∫ 0 1 1 u d u 2  

Vamos integrar em u , depois voltamos a expressão u = x 2 + 1 e aplicamos os intervalos.

A integral fica:

18 2 ln ⁡ ( u ) 0 1

Sendo, u = x 2 + 1

9 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) 0 1

Aplicando os intervalos de integração:

9 ln ⁡ 1 2 + 1 - ln ⁡ ( 0 2 + 1 )

9 ln ⁡ 2 - ln ⁡ ( 1 )

Sabemos que ln ⁡ 1 = 0 , logo nossa resposta é:

9 ln ⁡ ( 2 )

Resposta

9 ln ⁡ ( 2 )

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