Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 5
Passo 1
Temos um problema de integração em uma região geral. Como já nos foi dado a integral, não é necessário compreender qual o tipo de região.
Muita calma nessa hora! Se fosse uma questão de Cálculo 1, em que precisamos integrar apenas em relação a uma variável (no caso a ), iríamos ficar nervosos e dizer que não há solução! E realmente, não existe uma solução analítica para este caso.
Mas, como estamos em uma integral dupla, vamos começar integrando em relação a , e assim substituir os limites de integração, conforme o Teorema Fundamental do Cálculo!
Ao fazermos nesta ordem, vocês perceberam que tudo irá fluir!
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a . Como é uma constante para , temos:
Passo 3
Agora sim!! Conseguiremos resolver a nossa integral! Mas, para isto, precisamos utilizar algumas técnicas de integração.
Vamos então fazer uma substituição de variáveis. Se chamarmos , então . Portanto, teremos a seguinte mudança:
Agora, vamos trabalhar com os limites de integração. Quando , temos . Já quando , . Portanto,
Passo 4
Agora, só nos basta resolver a integral. Portanto, temos: