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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 7

Calcule a integral dupla.

∬_D^() y^2 d A

D = {(x , y)| - 1 <= y <= 1 , - y - 2 <= x <= y }

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Precisamos entender que tipo de região estamos trabalhando para poder resolver a integral.

Como temos x variando em torno de duas funções f ( y ) e g (y) , então, temos uma região do tipo 2 (curvas à esquerda e à direita e retas acima e abaixo).

Agora que compreendemos a nossa região, já podemos montar a nossa integral! Portanto, integraremos primeiramente em relação a x e depois a y . Logo,

I = int_(- 1)^1 int_(- y - 2)^y y^2 d x d y

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a x . Portanto, temos:

I = int_(- 1)^1 int_(- y - 2)^y y^2 d x d y = int_(- 1)^1 y^2 (int_(- y - 2)^y d x) d y

A integral em x fica

int_(- y - 2)^y d x = (x)_(- y - 2)^y = y - (- y - 2) = 2 y + 2

Então a nossa integral dupla fica

I = int_(- 1)^1 y^2 (2 y + 2) d y = int_(- 1)^1 (2 y^3 + 2 y^2) d y

Agora podemos integrar direto em y

I = ((2 y^4)/(4) + (2 y^3)/(3))_(- 1)^1 = ((2)/(4) 1^4 + (2)/(3) 1^4) - ((2)/(4) (- 1)^4 + (2)/(3) (- 1)^3)

I = ((2)/(4) + (2)/(3)) - ((2)/(4) - (2)/(3))

I = (4)/(3)

Resposta

I = (4)/(3)

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