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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 9

Calcule a integral dupla.

∬_D^() x d A , D = {(x , y)| 0 <= x <= pi , 0 <= y <= s e n x }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:

int_0^(pi) int_0^(s e n x) x d y d x

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^(pi) (int_0^(s e n x) x d y) d x = int_0^(pi) ([x y]_0^(s e n x)) d x = int_0^(pi) (x s e n x) d x

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou, usando integração por partes:

int_()^() x s e n x d x = x (- cos x) - int 1 (- cos x) d x = - x cos x + s e n x

Então, aplicando os limites de integração:

int_0^(pi) (x s e n x) d x = [- x cos x + s e n x]_0^(pi) = - pi cos pi + s e n pi + 0 . cos 0 - s e n 0 = - pi . (- 1) + 0 + 0 - 0 = pi

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Resposta

pi

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