Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x   c o s y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x   c o s y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x   c o s y d y d x

Tem-se também:

x ≥ 0

E

x 2 ≤ y ≤ π

No entanto, um detalhe deve ser observado! Para que as inequações que definem o valor das variáveis coincidam, o valor de x é limitado para:

0 ≤ x ≤ π

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 π ∫ y = x 2 y = π x   c o s y d y d x

F = ∫ 0 π x s e n y | y = π y = x 2 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 π x s e n π - s e n x 2 d x

F = ∫ 0 π - x s e n x 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x adotando o método da substituição simples com u = x 2 e d u = 2 x d x :

F = ∫ 0 π - s e n u d u 2

F = 1 2 cosu ⁡ | x = π x = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 1 2 c o s π - c o s 0

F = - 1

Resposta

- 1

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