Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 4
Calcule a integral iterada.
Passo 1
E aí, amigos! Tudo na paz?
Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:
Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral após a outra.
Para resolver integrais duplas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”.
Isso significa que começamos com a integral mais interna, a qual está em função de no nosso exemplo.
Primeiro, integramos a função em relação a. O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.
Nessa questão vamos precisar usar a integração por partes, que é:
Bora ver como fica esse processo?
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função com relação a e considerar como uma constante, já que é a integral “de dentro”:
Aplicando os limites de integração e :
Como :
Fazendo a distributiva da multiplicação com o que está fora dos colchetes:
Passo 3
Agora vamos integrar a integral “de fora”:
Como temos a integral de função com subtração podemos resolver como uma subtração de integrais:
Para não ficarmos com passos muito extensos, vamos resolver:
Aqui e deixar a outra integral para o próximo passo. Resolvendo a primeira integral, temos:
Aplicando os limites de integração e tirando a constante para fora da função:
Resolvendo a expressão, teremos:
E aqui está o resultado da nossa primeira integral da subtração de integrais:
Passo 4
Agora precisamos resolver a segunda integral:
Como temos uma multiplicação de funções com relação a , temos que aplicar algum método para resolver. Vamos tentar o método de integração por partes. Consideraremos:
E:
Logo:
Substituindo na equação, nossa integral vai ficar assim:
Portanto:
Passo 5
Como:
Obtemos nossos valores:
Nossa resposta será: