Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 4

Calcule a integral iterada.

Passo 1

E aí, amigos! Tudo na paz?

Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:

Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral após a outra.

Para resolver integrais duplas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”.

Isso significa que começamos com a integral mais interna, a qual está em função de no nosso exemplo.

Primeiro, integramos a função em relação a. O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.

Nessa questão vamos precisar usar a integração por partes, que é:

Bora ver como fica esse processo?

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função com relação a e considerar como uma constante, já que é a integral “de dentro”:

Aplicando os limites de integração e :

Como :

Fazendo a distributiva da multiplicação com o que está fora dos colchetes:

Passo 3

Agora vamos integrar a integral “de fora”:

Como temos a integral de função com subtração podemos resolver como uma subtração de integrais:

Para não ficarmos com passos muito extensos, vamos resolver:

Aqui e deixar a outra integral para o próximo passo. Resolvendo a primeira integral, temos:

Aplicando os limites de integração e tirando a constante para fora da função:

Resolvendo a expressão, teremos:

E aqui está o resultado da nossa primeira integral da subtração de integrais:

Passo 4

Agora precisamos resolver a segunda integral:

Como temos uma multiplicação de funções com relação a , temos que aplicar algum método para resolver. Vamos tentar o método de integração por partes. Consideraremos: