Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x + y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x + y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x + y d y d x

A partir do esboço do conjunto B :

E dos intervalos dados pelo enunciado:

0 ≤ x ≤ 1

E

x ≤ y ≤ e x

É possível resolver o cálculo.

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ y = x y = e x x + y d y d x

F = ∫ 0 1 x y + y 2 2 | y = e x y = x d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 1 x e x + e 2 x 2 - x 2 - x 2 2 d x

F = ∫ 0 1 x e x + e 2 x 2 - 3 2 x 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x , o primeiro termo deve ser resolvido através da integração por partes com u = x e d v = e x d x , tal que d u = d x e v = e x :

∫ x e x d x = x e x - ∫ e x d x = x e x - e x

Logo:

F = x e x - e x + e 2 x 4 - x 3 2 | x = 1 x = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = e 1 - e 1 + e 2 4 - 1 2 + 1 - 1 4

F = e 2 4 + 1 4 = 1 4 1 + e 2

Resposta

1 4 1 + e 2

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