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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6g

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (x y c o s x^2) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (x y c o s x^2) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (x y c o s x^2) d y] d x

Além disso, o exercício dá os intervalos:

0 <= x <= 1

E

x^2 <= y <= 1

No entanto, por conveniência, se torna melhor fazer uma mudança de variável para facilitar o cálculo, ou seja:

0 <= y <= 1

E

0 <= x <= sqrt(y)

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^1 [int_(x = 0)^(x = sqrt(y)) (x y c o s x^2) d x] d y

Através do método da substituição simples com u = x^2 e d u = 2 x d x :

F = int_0^1 y [int c o s u ((d u)/(2))] | [[x,=,sqrt(y)],[x,=,0]] d y

F = (1)/(2) int_0^1 y [s e n u] | [[x,=,sqrt(y)],[x,=,0]] d y

Voltando para a variável original:

F = (1)/(2) int_0^1 y [s e n x^2] | [[x,=,sqrt(y)],[x,=,0]] d y

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = (1)/(2) int_0^1 y [s e n y] d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y através do método da integração por partes com u = y e d v = s e n y d y , tal que d u = d y e v = - c o s y . Lembrando que o método é dado pela equação:

int u d v = u v - int v d u

Então:

F = (1)/(2) [- y c o s y + int c o s y d y] | [[y,=,1],[y,=,0]]

F = (1)/(2) [s e n y - y c o s y] | [[y,=,1],[y,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = (1)/(2) [s e n 1 - c o s 1]

Resposta

(1)/(2) [s e n 1 - c o s 1]

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