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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6c

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B x d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) x d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) x d y] d x

Fazendo o esboço do conjunto B conclui-se que a figura é um triângulo, mas devido à variação do valor da variável x , a figura pode ser separada ao meio, onde a equação das retas (que representam os lados do triângulo) se altera. Ainda, como o valor de x tem maior variação, torna-se mais conveniente deixá-lo em função da outra variável e manter y com variação constante. Logo, o esboço é dado por:

Além de:

0 <= y <= 1

E

y <= x <= - y + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^1 [int_(x = y)^(x = - y + 2) x d x] d y

F = int_0^1 [(x^2)/(2)] | [[x,=,-,y,+,2],[x,=,y]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = int_0^1 (1)/(2) [(- y + 2)^2 - y^2] d y

F = (1)/(2) int_0^1 [y^2 - 4 y + 4 - y^2] d y

F = int_0^1 [- 2 y + 2] d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y :

F = [- y^2 + 2 y] | [[y,=,1],[y,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = [- 1 + 2] = 1

Resposta

1

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