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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 5e

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) y d y] d x

E fazendo o desenho do conjunto B :

Pode-se observar que existem duas regiões diferentes entre as duas curvas, sendo que a primeira está no intervalo 0 <= x <= 1 com y = x acima de y = x^2 , enquanto que a segunda está no intervalo 1 <= x <= 2 com y = x^2 acima de y = x .

Com isso, deverá ser feito o cálculo das duas regiões e o resultado final será dado pela soma delas.

Passo 2

Assim, é possível calcular para a primeira região:

F_1 = int_0^1 [int_(y = x^2)^(y = x) y d y] d x

F_1 = int_0^1 [(y^2)/(2)] | [[y,=,x],[y,=,x^2]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F_1 = int_0^1 (1)/(2) [x^2 - x^4] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F_1 = (1)/(2) [(x^3)/(3) - (x^5)/(5)] | [[1],[0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F_1 = (1)/(2) [(1)/(3) - (1)/(5)] = (1)/(15)

Passo 4

Agora, para a segunda região:

F_2 = int_1^2 [int_(y = x)^(y = x^2) y d y] d x

F_2 = int_1^2 [(y^2)/(2)] | [[y,=,x^2],[y,=,x]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F_2 = int_1^2 (1)/(2) [x^4 - x^2] d x

Passo 5

Agora, integrando em relação a x :

F_2 = (1)/(2) [(x^5)/(5) - (x^3)/(3)] | [[2],[1]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F_2 = (1)/(2) [(32)/(5) - (8)/(3) - ((1)/(5) - (1)/(3))] = (29)/(15)

Passo 6

Por fim, resta calcular a subtração citada no início da resolução. Logo:

F = F_1 + F_2 = (1)/(15) + (29)/(15)

F = 2

Resposta

2

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