Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 5c

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) y d y] d x

Ao igualar x = 0 :

- (1)/(2) <= y <= (1)/(2)

E isolando x na inequação:

- sqrt(1 - 4 y^2) <= x <= sqrt(1 - 4 y^2)

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_(- 1 // 2)^(1 // 2) [int_(x = - sqrt(1 - 4 y^2))^(x = sqrt(1 - 4 y^2)) y d x] d y

F = int_(- 1 // 2)^(1 // 2) [y x] | [[x,=,sqrt(1 - 4 y^2)],[x,=,-,sqrt(1 - 4 y^2)]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = int_(- 1 // 2)^(1 // 2) y [sqrt(1 - 4 y^2) - (- sqrt(1 - 4 y^2))] d y = int_(- 1 // 2)^(1 // 2) 2 y sqrt(1 - 4 y^2) d y

Para essa equação, a resolução pode ser feita através da integração por substituição simples, tomando u = 1 - 4 y^2 , tal que d u = - 8 y d y . Logo:

F = int_(- 1 // 2)^(1 // 2) sqrt(u) (- (d u)/(4)) = - (1)/(4) ((2)/(3) u^(3 // 2)) | [[1,//,2],[-,1,//,2]]

Substituindo a variável original de volta:

F = - (1)/(6) (1 - 4 y^2)^(3 // 2) | [[1,//,2],[-,1,//,2]]

Agora, substituindo o intervalo de integração podemos ver que haverá uma diferença dada por:

((1)/(2))^2 - (- (1)/(2))^2

Que resulta em zero. Portanto,

F = 0

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral. a sc u r v a s y = ln ⁡ x ey = 2
Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral. a sr e t a s y = 1 - x ,ey = 2 ,
As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos on
Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral. a sp a r á b o l a sx = y 2 - 1e
As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos on