Utilize a transformação dada para calcular a integral.

, onde é a região limitada pela elipse ; ,

Para calcular essa integral vamos usar:

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Temos que é a derivada de em função de :

E é a derivada de em função de :

Temos que é a derivada de em função de :

E por ultimo é a derivada de em função de :

Pronto, agora é só substituir e calcular:

Vamos substituir e na elipse:

A imagem é o disco , assim temos e .

Agora vamo substituir na integral:

Substituindo os que temos:

Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, usando

Assim:

Integrando de dentro para fora:

Substituindo os limites de integração:

Agora em relação a , colocamos para fora como constante:

Integrando...

Moleza! 😊