Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 50
Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo na paz?
A questão quer que a gente calcule a integral indefinida:
Como uma série infinita (soma de infinitos termos). Vale lembrar que uma integral indefinida é uma integral que não tem limites de integração.
O procedimento é o seguinte: primeiro achamos a série de Maclaurin para:
Depois é só integrarmos termo a termo dessa série e vamos estar calculando a integral como uma série infinita.
Antes vamos precisar achar o valor da série de Maclaurin para a partir da série de Maclaurin para , que também pode ser escrita como que já é conhecida por nós da teoria do livro.
Relembrando a série de Maclaurin: A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é desse formato:
Bora resolver isso!
Passo 2
Sabemos que:
Da teoria do nosso livro (Tabela 11 da sessão 10 do capítulo 11), já temos a série de Maclaurin para :
Como queremos Maclaurin para
Mudamos o argumento da nossa série para :
Usando a propriedade:
Prontinho, encontramos nossa série de Maclaurin pra função dada no enunciado.
Passo 3
Agora para integrar:
Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem dentro da integral.
Agora podemos resolver a integral indefinida, sem esquecer da constante de integração: