Calcule a integral indefinida como uma série infinita.

∫ arctg ⁡ ( x 2 ) d x  

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo na paz?

A questão quer que a gente calcule a integral indefinida:

∫ arctg ⁡ ( x 2 ) d x  

Como uma série infinita (soma de infinitos termos). Vale lembrar que uma integral indefinida é uma integral que não tem limites de integração.

O procedimento é o seguinte: primeiro achamos a série de Maclaurin para:

f x = arctg ⁡ ( x 2 )

Depois é só integrarmos termo a termo dessa série e vamos estar calculando a integral como uma série infinita.

Antes vamos precisar achar o valor da série de Maclaurin para f x = arctg ⁡ ( x 2 )   a partir da série de Maclaurin para f x = arctg ⁡ ( x ) , que também pode ser escrita como f x = tg - 1 ⁡ ( x ) que já é conhecida por nós da teoria do livro.

Relembrando a série de Maclaurin: A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com a = 0 e é desse formato:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + …

Bora resolver isso!

Passo 2

Sabemos que:

f x = arctg ⁡ x = tg - 1 ⁡ ( x )

Da teoria do nosso livro (Tabela 11 da sessão 10 do capítulo 11), já temos a série de Maclaurin para tg - 1 ⁡ ( x ) :

tg - 1 ⁡ ( x ) = ∑ 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Como queremos Maclaurin para

f x = arctg ⁡ x 2 = tg - 1 ⁡ ( x 2 )

Mudamos o argumento da nossa série para x 2 :

tg - 1 ⁡ ( x 2 ) = ∑ 0 ∞ - 1 n ( x 2 ) 2 n + 1 2 n + 1

Usando a propriedade:   b n m = b n ⋅ m

tg - 1 ⁡ ( x 2 ) = ∑ 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 2 n + 1

Prontinho, encontramos nossa série de Maclaurin pra função dada no enunciado.

Passo 3

Agora para integrar:

∫ arctg ⁡ ( x 2 ) d x = ∫ ∑ 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 2 n + 1  

Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem x dentro da integral.

∫ arctg ⁡ ( x 2 ) d x = ∑ 0 ∞ - 1 n 2 n + 1   ∫ x 4 n + 2   d x  

Agora podemos resolver a integral indefinida, sem esquecer da constante de integração:

∫ arctg ⁡ ( x 2 ) d x = C + ∑ 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ⋅   x 4 n + 3   4 n + 3  

Resposta

∫ arctg ⁡ ( x 2 ) d x = C + ∑ 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ⋅   x 4 n + 3   4 n + 3  

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