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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 27

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

27.

∫ x 2 ln ⁡ 1 + x d x

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo show?

O enunciado pede a integral da função, mas como uma série de potência. E depois o raio de convergência.

Para encontrar a série de potência, vamos calcular primeiramente ln ⁡ 1 + x :

1 1 + x = 1 1 - - x

Agora, a gente precisa que nossa função tenha uma cara parecida com uma série geométrica:

∑ n = 0 ��� x n  

Ou seja, com o que já temos:

∑ n = 0 ∞ ( - x ) n =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 x n n  

Substituindo esse nosso somatório, com n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   …

1 - x + x 2 - x 3 + …

Passo 2

Integrando ambos os lados:

∫ 1 1 + x d x = ∫ 1 - x + x 2 - x 3 + …   d x

ln ⁡ ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - … + C

Para encontrar a constante C . Faremos que x = 0 e veremos que C = 0 .

Então:

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 x n n

Multiplicando ambos os lados por x ² :

x 2 ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n + 2 n

Agora que sabemos qual é a série de potência, podemos calular a integral.

∫ x 2 ln ⁡ 1 + x d x

∫ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n + 2 n d x

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 x n + 3 n ( n + 3 )

Passo 3

Calculando o raio de convergência, que pode ser calculado como o inverso da fórmula do Teste da Razão:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 4 n n + 3

Para não acontecer um limite indeterminado, vou colocar esse n em evidência e cancelar os termos:

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n n 1 + 4 n n 2 1 + 3 n

Como 1 ∞ = 0

1 + 0 ⋅ ( 1 + 0 ) 1 + 0 = 1

Ou seja, descobrimos nosso Raio de Convergência R = 1

Resposta

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 x n + 3 n ( n + 3 )

R = 1

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