Determine a área da superfície.

A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .

Passo 1

Show de bola galera, tudo certo?

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim:

∂ z ∂ x = ∂ ( 2 + 3 x + 4 y ) ∂ x  

Considerando constante tudo que não é em função de x .

∂ 3 x ∂ x = 3 Fazendo o mesmo procedimento para y

∂ ( 2 + 3 x + 4 y ) ∂ y = ∂ 4 y ∂ y = 4

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + 3 2 + 4 2 d A = ∬ D 26 d A

Passo 3

Vamos lembrar o retângulo que foi indicado para o cálculo da área:

0,5 × 1,4

Como estamos trabalhando em uma região retangular, pelo Teorema de Fubini, tanto faz a ordem de integração. Logo,

A S = ∫ 0 5 ∫ 1 4 26 d y d x = ∫ 0 5 y 26   ​ 1 4 d x  

Substituindo os intervalos:

∫ 0 5 3 26   d x = 3 x 26 ​ 0 5

Aplicando os limites de integração: 15 26

A S = 15 26

Resposta

A S = 15 26

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