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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 6

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y

Passo 1

E aí, campeão dos cálculos! Preparado para mais um desafio matemático? Mãos à obra!

Para resolvermos esse exercício, precisamos calcular a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y

Primeiro, precisamos integrar em relação a y , depois a x e por último a z . A ordem das variáveis de integração é determinada pela proximidade do d y em relação à função.

Muito cuidado para não errar a ordem de integração! A ordem será dada pelo d que está mais próximo da função!

Passo 2

Vamos integrar a função z y + 1 em relação a x , mantendo y e z como constantes:

∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x

A integral de z y + 1 em relação a x é:

z y + 1 = z y + 1   .     x

Avaliando de 0 a 1 - z 2 :

∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x = z y + 1 ⋅ x 0 1 - z 2

= z 1 - z 2 y + 1

Portanto, a integral tripla se transforma em:

∫ 0 1 ∫ 0 1 z 1 - z 2 y + 1 d z d y

Passo 3

Agora, integrando z 1 - z 2 y + 1 em relação a y , mantendo z constante:

∫ 0 1 ∫ 0 1 z 1 - z 2 y + 1 d z d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 y + 1   .   z 1 - z 2   d z d y

A integral de z 1 - z 2 é:

- 1 3 ⋅ 1 - z 2 3 / 2

Avaliando de 0 a 1 :

∫ 0 1 1 y + 1 ⋅ - 1 3 ⋅ 1 - z 2 3 / 2 0 1 d y = - 1 3 ⋅ 1 - 1 2 3 / 2 - - 1 3 ⋅ 1 - 0 2 3 / 2

= 0 - - 1 3 = 1 3

Portanto, a integral tripla agora é:

∫ 0 1 1 y + 1 ⋅ 1 3 d y

Passo 4

Por fim, basta integrarmos 1 y + 1 ⋅ 1 3 em relação a y .

∫ 0 1 1 3 ⋅ 1 y + 1 ⋅ d y

A integral de 1 y + 1 é:

ln ⁡ y + 1

Avaliando de 0 a 1 :

= 1 3 ⋅ ln ⁡ y + 1 0 1 = 1 3 ⋅ ( ln ⁡ 1 + 1 ) - ( ln ⁡ 0 + 1 )

= 1 3 ⋅ ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y = ln ⁡ 2 3

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Calcule int_0^2 d x int_0^(sqrt(2 x - x^2)) d y int_0^a z sqrt(x^2 + y^2) d z .
W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e z^2 = x^2 + y^2} .
Calcule a integral tripla: ∭ W y cos ⁡ x + zd x d y d z Onde W é a região limitada pelo cilindro x = y 2 e os planos x + z = π 2 e z = 0 .
Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W x y 2 z 3d x d y d z Onde W é a região no primeiro octante limitada pela superfície z = x y e os planos y = x ,x = 1 e z = 0 .
Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W zd x d y d z Onde W é a região limitada pelas superfícies z = x 2 + y 2 ,y = x 2 ,z = 0ey = 1 .