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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 5b

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) y d y] d x

Tem-se também:

- 1 <= x <= 1

E

0 <= y <= x + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_(- 1)^1 [int_0^(y = x + 2) y d y] d x

F = int_(- 1)^1 [(y^2)/(2)] | [[y,=,x,+,2],[y,=,0]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_(- 1)^1 [((x + 2)^2)/(2)] d x = int_(- 1)^1 [(x^2 + 4 x + 4)/(2)] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = (1)/(2) [(x^3)/(3) + 2 x^2 + 4 x] | [[1],[-,1]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = (1)/(2) [(1)/(3) + 2 + 4 - (- (1)/(3) + 2 - 4)]

F = (1)/(2) [(2)/(3) + 8] = (13)/(3)

Resposta

(13)/(3)

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