Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 5g

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) y d y] d x

Ao igualar x = 0 :

- 2 <= y <= 2

No entanto, o enunciado diz que o valor de y está restrito a valores positivos, ou seja:

0 <= y <= 2

E isolando x na inequação:

- sqrt(4 - y^2) <= x <= sqrt(4 - y^2)

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^2 [int_(x = - sqrt(4 - y^2))^(x = sqrt(4 - y^2)) y d x] d y

F = int_0^2 [y x] | [[x,=,sqrt(4 - y^2)],[x,=,-,sqrt(4 - y^2)]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = int_0^2 y [sqrt(4 - y^2) - (- sqrt(4 - y^2))] d y = int_0^2 2 y sqrt(4 - y^2) d y

Para essa equação, a resolução pode ser feita através da integração por substituição simples, tomando u = 4 - y^2 , tal que d u = - 2 y d y . Logo:

F = int_0^2 sqrt(u) (- d u) = - ((2)/(3) u^(3 // 2)) | [[2],[0]]

Substituindo a variável original de volta:

F = - (2)/(3) (4 - y^2)^(3 // 2) | [[2],[0]]

E substituindo o intervalo de integração:

F = - (2)/(3) [(4 - 4)^(3 // 2) - (4 - 0)^(3 // 2)]

F = (2)/(3) (8) = (16)/(3)

Resposta

(16)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

2. AS integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculosa. ∫ 0 1 ∫ y 1 e x 2 d x d
Utilize a transformação u = x - y ,v = x + y para avaliar ∫ ∫ R x - y x + yd A onde R é o quadrado com vértices 0 ,2 ,1 ,1 ,2 ,2 e1 ,3 .
Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral. a sr e t a sy = x ,y = x 3ey = 2
População regional: Se ƒ ( x ,y )=100( y+1ƒ ) representa a densidade populacional de uma região plana na Terra, onde x e y são medidos em milhas, encontre o número de pessoas na região delimitada pela
Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral. A sr e t a s y = x - 2 ey = - x