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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 5h

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) y d y] d x

Tem-se também:

x >= 0

E

x^5 - x <= y <= 0

No entanto, um detalhe deve ser observado! Para que as inequações que definem o valor das variáveis coincidam, o valor de x é limitado para:

0 <= x <= 1

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^1 [int_(y = x^5 - x)^(y = 0) y d y] d x

F = int_0^1 [(y^2)/(2)] | [[y,=,0],[y = x^5,-,x]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_0^1 (1)/(2) [0 - (x^5 - x)^2] d x = - (1)/(2) int_0^1 [x^(10) - 2 x^6 + x^2] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = - (1)/(2) int_0^1 [x^(10) - 2 x^6 + x^2] d x

F = - (1)/(2) [(x^(11))/(11) - (2 x^7)/(7) + (x^3)/(3)] | [[x,=,1],[x,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = - (1)/(2) [(1)/(11) - (2)/(7) + (1)/(3) - 0]

F = - (1)/(2) [(32)/(231)] = - (1 6)/(231)

Resposta

- (16)/(231)

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Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integraisb. ∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y
Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integraisc. ∫ 0 π 2 ∫ cos ⁡ x 1 f x , y d y d x