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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 5a

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) y d y] d x

E fazendo o desenho do conjunto B :

Pode-se determinar que 0 <= x <= 1 e, para cada valor de x :

0 <= y <= x

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^1 [int_0^(y = x) y d y] d x

F = int_0^1 [(y^2)/(2)] | [[y,=,x],[y,=,0]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_0^1 [(x^2)/(2)] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = (1)/(2) [(x^3)/(3)] | [[1],[0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = (1)/(6) - 0 = (1)/(6)

Resposta

(1)/(6)

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