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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 8

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 x y e z   d z d y d x

Passo 1

Falaa, beleza?

Nessa questão vamos calcular uma integral tripla iterada:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 x y e z   d z d y d x

Toda integral múltipla a gente calcula de dentro pra fora, então primeiro integramos em função de z , depois y , depois x :

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 x y e z   d z d y d x

Lembrando que quando integramos em função de uma variável, as outras são consideradas constantes.

Passo 2

Começamos integrando em função de z , com x e y constantes:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 x y e z   d z d y d x =

Podemos tirar o termo x y dessa primeira integral:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y ∫ 0 2 - x 2 - y 2 e z   d z d y d x =

E calculamos:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y e z z = 0 z = 2 - x 2 - y 2 d y d x =

Substituindo os limites de integração:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y e 2 - x 2 - y 2 - e 0 d y d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y e 2 - x 2 - y 2 - 1 d y d x

Passo 3

Agora podemos calcular a integral em função de y , mantendo x constante:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y e 2 - x 2 - y 2 - 1 d y d x =

Vamos tirar esse x dessa integral, já que é constante:

= ∫ 0 1 x ∫ 0 1 y e 2 - x 2 - y 2 - 1 d y d x =

Agora vamos fazer a substituição u = 2 - x 2 - y 2 :

d u = - 2 y d y ⇒ y d y = - 1 2 d u

u 0 = 2 - x 2

u 1 = 1 - x 2

Então:

= ∫ 0 1 x ∫ 2 - x 2 1 - x 2 e u - 1 - 1 2 d u d x =

Podemos colocar 1 2 pra fora de toda a integral, e esse “ - ” vai inverter os limites de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 x ∫ 1 - x 2 2 - x 2 e u - 1 d u d x =

Integrando em função de u :

= 1 2 ∫ 0 1 x e u - u u = 1 - x 2 u = 2 - x 2 d x =

Aplicando os limites de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 x e 2 - x 2 - 2 - x 2 - e 1 - x 2 - 1 - x 2 d x =

= 1 2 ∫ 0 1 x ∙ e 2 - x 2 - 2 + x 2 - e 1 - x 2 + 1 - x 2 d x =

Simplificando:

= 1 2 ∫ 0 1 x ∙ e 2 - x 2 - e 1 - x 2 - 1 d x

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

1 2 ∫ 0 1 x ∙ e 2 - x 2 - e 1 - x 2 - 1 d x =

Primeiro vamos abrir esses exponenciais:

= 1 2 ∫ 0 1 x ∙ e 2 ∙ e - x 2 - e ∙ e - x 2 - 1 d x =

Agora podemos colocar e - x 2 em evidência:

= 1 2 ∫ 0 1 x ∙ e - x 2 ∙ e 2 - e - 1 d x =

E vamos fazer a substituição u = - x 2 :

d u = - 2 x d x ⇒ x d x = - 1 2 d u

u 0 = 0

u 1 = - 1

Voltando pra integral:

= 1 2 ∫ 0 - 1 e u ∙ e 2 - e - 1 - 1 2 d u =

Vamos tirar esse outro 1 2 da integral, e o “ - ” inverte os limites de integração:

= 1 4 ∫ - 1 0 e u ∙ e 2 - e - 1 d u =

E agora integramos em função de u :

= 1 4 e u ∙ e 2 - e - u - 1 0 =

= 1 4 e 0 e 2 - e - 0 - e - 1 e 2 - e - - 1 =

Resolvendo:

= 1 4 e 2 - e - e - 1 + 1 =

= 1 4 e 2 - e - e

Ou sejam nossa integral fica:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 x y e z   d z d y d x = 1 4 e 2 - 2 e

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 x y e z   d z d y d x = 1 4 e 2 - 2 e

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