Calcule a integral iterada. ∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x = 2 3

Enunciado

Oii, tudo certo? Vamos ver essa questão?

Ela pede pra calcular uma integral iterada, e é uma integral tripla:

A gente calcula essa integral de dentro pra fora, ou seja, primeiro em função de , depois em função de e por último em função de :

Mas quando integramos em função de uma variável, as demais são constantes!

Então vamos!

Primeiro integrando em função de , com e constantes:

Como e são constantes, vamos tirar esses termos dessa primeira integral:

Resolvendo os limites de integração:

Então a integral fica assim:

Agora podemos calcular a integral em função de , mantendo constante:

Como é constante, podemos tirar o termo dessa integral:

E agora vamos usar a substituição :

Então:

Vamos reescrever e esse sinal de “” vai inverter os limites de integração:

A primitiva de é:

Então:

Substituindo os limites de integração:

E por fim, podemos resolver a integral em função de :

Substituindo os limites de integração:

Mas e , então:

E, dessa forma o valor da integral é: