Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 7

Calcule a integral iterada.

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x

Passo 1

Oii, tudo certo? Vamos ver essa questão?

Ela pede pra calcular uma integral iterada, e é uma integral tripla:

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x

A gente calcula essa integral de dentro pra fora, ou seja, primeiro em função de y , depois em função de z e por último em função de x :

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x

Mas quando integramos em função de uma variável, as demais são constantes!

Então vamos!

Passo 2

Primeiro integrando em função de y , com x e z constantes:

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x =

Como z e sen ⁡ x são constantes, vamos tirar esses termos dessa primeira integral:

= ∫ 0 π ∫ 0 1 z sen ⁡ x ∫ 0 1 - z 2 d y d z d x =

= ∫ 0 π ∫ 0 1 z sen ⁡ x ∙ y y = 0 y = 1 - z 2 d z d x =

Resolvendo os limites de integração:

= ∫ 0 π ∫ 0 1 z sen ⁡ x ∙ 1 - z 2 - 0 d z d x =

Então a integral fica assim:

= ∫ 0 π ∫ 0 1 1 - z 2 ∙ z sen ⁡ x d z d x

Passo 3

Agora podemos calcular a integral em função de z , mantendo x constante:

= ∫ 0 π ∫ 0 1 1 - z 2 ∙ z sen ⁡ x d z d x

Como x é constante, podemos tirar o termo sen ⁡ x dessa integral:

= ∫ 0 π sen ⁡ x ∫ 0 1 1 - z 2 ∙ z d z d x =

E agora vamos usar a substituição u = 1 - z 2 :

d u = - 2 z d z ⇒ z d z = - 1 2 d u

u 1 = 0

u 0 = 1

Então:

= ∫ 0 π sen ⁡ x ∫ 1 0 u ∙ - 1 2 d u d x =

Vamos reescrever u = u 1 / 2 e esse sinal de “ - ” vai inverter os limites de integração:

= ∫ 0 π sen ⁡ x ∫ 0 1 u 1 2 ∙ 1 2 d u d x =

A primitiva de u 1 / 2 é:

u 3 2 3 2 = 2 3 u 3 / 2

Então:

= ∫ 0 π sen ⁡ x 2 3 u 3 2 ∙ 1 2 u = 0 u = 1 d x =

= ∫ 0 π sen ⁡ x 1 3 u 3 2 u = 0 u = 1 d x =

Substituindo os limites de integração:

= ∫ 0 π sen ⁡ x 1 3 ∙ 1 3 / 2 - 1 3 ∙ 0 3 / 2 d x =

= ∫ 0 π sen ⁡ x ∙ 1 3 d x

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

∫ 0 π 1 3 sen ⁡ x d x =

= - 1 3 cos ⁡ x 0 π =

Substituindo os limites de integração:

= - 1 3 ∙ cos ⁡ π + 1 3 ∙ cos ⁡ 0 =

Mas cos ⁡ π = - 1 e cos ⁡ 0 = 1 , então:

= 1 3 + 1 3 = 2 3

E, dessa forma o valor da integral é:

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x = 2 3

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z sen ⁡ x d y d z d x = 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^z int_0^y z e^(- y^2) d x d y d z
Calcule a integral iterada.int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x
Calcule a integral iterada.int_0^(pi // 2) int_0^y int_0^x cos ( x + y + z ) d z d x d y
Calcule a integral tripla.int int int_E y z cos ( x^5 ) d V , ondeE = {(x , y , z)| 0 = x = 1 , 0 = y = x , x = z = 2 x }
Calcule a integral iterada.int_0^3 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z e^y d x d z d y