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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 5

Calcule a integral iterada.

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão a gente precisa calcular uma integral iterada que ela deu:

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z

Lembra que sempre que calculamos uma integral múltipla, a gente faz de dentro pra fora:

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z

Então a gente primeiro integra em função de y , depois de x , e por último de z . E quando estamos integrando em uma variável, consideramos as outras constantes!!

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro integrando em função de y , com x e z constantes:

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z =

A gente vai precisar usar uma substituição u = - y :

d u = - d y ⇒ d y = - d u

u 0 = 0

u ln ⁡ x = - ln ⁡ x

Então:

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 z - ∫ 0 - ln ⁡ x x e u d u d x d z =

Resolvendo a integral em função de u :

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 z - x e u u = 0 u = ln ⁡ x d x d z =

Calculando os limites de integração:

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 z - x e - ln ⁡ x + x ∙ e 0 d x d z =

Como exponencial e ln ⁡   são funções inversas:

e ln ⁡ x = x

⇒ e - ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 1 = x - 1

Então:

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 z - x ∙ x - 1 + x d x d z =

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 z - 1 + x d x d z

Passo 3

Agora podemos calcular a integral em função de x , mantendo z constante:

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 z - 1 + x d x d z =

= ∫ 1 2 - x + x 2 2 x = 0 x = 2 z d z =

Substituindo os limites de integração:

= ∫ 1 2 - 2 z + 2 z 2 2 - - 0 + 0 2 2 d z =

= ∫ 1 2 - 2 z + 4 z 2 2 d z =

E então:

= ∫ 1 2 - 2 z + 2 z 2 d z

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de z :

= ∫ 1 2 - 2 z + 2 z 2 d z =

= - 2 z 2 2 + 2 z 3 3 z = 1 z = 2 =

Substituindo nos limites de integração:

= - 2 ∙ 2 2 2 + 2 ∙ 2 3 3 - - 2 ∙ 1 2 2 + 2 ∙ 1 3 3 =

= - 4 + 16 3 + 1 - 2 3 =

Então:

= - 3 + 14 3 = 5 3

E achamos o valor da integral:

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z = 5 3

Resposta

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z = 5 3

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