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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 7

Calcule a integral iterada.

int_0^(pi // 2) int_0^y int_0^x cos ( x + y + z ) d z d x d y

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = int_0^(pi // 2) int_0^y int_0^x cos ( x + y + z ) d z d x d y

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em z . olha só:

I = int_0^(pi // 2) int_0^y [ s e n (x + y + z )]_(z = 0)^(z = x) d x d y

Assim,

I = int_0^(pi // 2) int_0^y [ s e n (2 x + y) - s e n (x + y) ] d x d y

Passo 3

Agora vamos integrar em x .

I = int_0^((pi)/(2)) [- (c o s (2 x + y))/(2) - (- c o s (x + y))]_(x = 0)^(x = y)

Isto é,

I = int_0^((pi)/(2)) [- (c o s (2 x + y))/(2) + c o s (x + y)]_(x = 0)^(x = y) d y

Aplicando entre esses pontos:

I = int_0^((pi)/(2)) [(- (c o s (3 y))/(2) + c o s (2 y)) - (- (c o s (y))/(2) + c o s (y))] d y

Arrumando a casa:

I = int_0^((pi)/(2)) [- (c o s (3 y))/(2) + c o s (2 y) - (c o s (y))/(2)] d y

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em y . Vem comigo!

I = int_0^((pi)/(2)) [- (c o s (3 y))/(2) + c o s (2 y) - (c o s (y))/(2)] d y

Integrando:

I = [- (s e n (3 y))/(6) + (s e n (2 y))/(2) - (s e n (y))/(2)]_0^((pi)/(2))

Logo,

I = (- (s e n (3 pi // 2))/(6) + (s e n (pi))/(2) - (s e n (pi // 2))/(2)) - (- (s e n (0))/(6) + (s e n (0))/(2) - (s e n (0))/(2))

Fazendo as contas:

I = ((1)/(6) + 0 - (1)/(2)) - (0)

Portanto,

I = - (1)/(3)

Resposta

- (1)/(3)

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