Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 8
Calcule a integral tripla.
, onde
Passo 1
E aí, pessoal? Bora começar.
Precisamos calcular a seguinte integral tripla a seguir, que está definida na região .
Vish, como faço essa?
Nosso principal objetivo é montar corretamente os intervalos da integral.
Lembra que a gente sempre começa integrando de dentro para fora certo? Então vamos observar a região , e devemos começar a integrar pelos intervalos que tem função variando.
Como assim?
Observe os intervalos de e , veja como eles tem uma função nos intervalos:
E a última integral a ser feita, vai ser com o intervalo numérico. Que no nosso caso é em x:
A integral vai ficar com essa carinha:
Onde, . Mas repare que essa ordem devemos colocar de acordo com os intervalos de integração.
Passo 2
Agora vamos efetivamente calcular a integral tripla.
Como vimos no passo 1, nossa integral vai ficar com esse formato:
Sempre começamos integrando de dentro para fora.
Integrando em , e aplicando os limites de integração temos:
Agora vamos integrar em . Vamos ter:
Aplicando os limites:
Passo 3
Por fim, restou uma integral simples em .
Aqui vamos precisar aplicar uma substituição do tipo:
Substituindo, temos:
Integrando e voltando para a variável x, temos:
Aplicando os limites, vamos ter nossa resposta como: